Центр сопряжения - точка, равноудаленная от сопрягаемых линий. А общая для этих линий точка называется точкой сопряжения .

Построение сопряжений выполняется с помощью циркуля.

Возможны следующие виды сопряжения:

1) сопряжение пересекающихся прямых с помощью дуги заданного радиуса R (скругление углов);

2) сопряжение дуги окружности и прямой с помощью дуги заданного радиуса R;

3) сопряжение дуг окружностей радиусов R 1 и R 2 прямой линией;

4) сопряжение дуг двух окружностей радиусов R 1 и R 2 дугой заданного радиуса R (внешнее, внутреннее и смешанное сопряжение).

При внешнем сопряжении центры сопрягаемых дуг радиусов R 1 и R 2 лежат вне сопрягающей дуги радиуса R. При внутреннем сопряжении центры сопрягаемых дуг лежат внутри сопрягающей дуги радиуса R. При смешанном сопряжении центр одной из сопрягаемых дуг лежит внутри сопрягающей дуги радиуса R, а центр другой сопрягаемой дуги - вне ее.

В табл. 1 показаны построения и даны краткие объяснения к построениям простых сопряжений.

Сопряжения Таблица 1

Пример простых сопряжений	Графическое построение сопряжений	Краткое объяснение к построению
1. Сопряжение пересекающихся прямых с помощью дуги заданного радиуса R.		Провести прямые, параллельные сторонам угла на расстоянии R. Из точки О взаимного пересе­чения этих прямых, опустив перпендикуляры на стороны угла, получим точки сопряжения 1 и 2. Радиусом R провести дугу.
2. Сопряжение дуги окружности и пря­мой с помощью дуги заданного радиуса R.		На расстоянии R провести прямую, параллель­ную заданной прямой, а из центра О 1 радиусом R+R 1 - дугу окружности. Точка О - центр дуги сопряжения. Точку 2 получим на перпенди­куляре, проведенном из точки О на заданную прямую, а точку 1 - на прямой OO 1 .
3. Сопряжение дуг двух окружностей ра­диусов R 1 и R 2 прямой линией.		Из точки О 1 провести окружность радиусом R 1 -R 2 . Отрезок O 1 O 2 разделить пополам и из точки О 3 провести дугу радиусом 0,5O 1 O 2 . Сое­динить точки О 1 и O 2 с точкой А. Из точки О 2 опустить перпендикуляр к прямой АО 2 , Точки 1.2 - точки сопряжения.

Продолжение таблицы 1

4. Сопряжение дуг двух окружностей ра­диусов R 1 и R 2 дугой заданного радиуса R (внешнее сопряжение).		Из центров O 1 и О 2 провести дуги радиусов R+R 1 и R+R 2 . O 1 и О 2 с точкой О. Точки 1 и 2 являются точками сопряжения.
5. Сопряжение дуг двух окружностей ра­диусов R 1 и R 2 дугой заданного радиуса R (внутреннее сопряжение).		Из центров O 1 и О 2 провести дуги радиусов R -R 1 и R -R 2 . Получаем точку О - центр дуги сопряжения. Соединить точки O 1 и О 2 с точкой О до пересечения с заданными окружно­стями. Точки 1 и 2 - точки сопряжения.
6. Сопряжение дуг двух окружностей ра­диусов R 1 и R 2 дугой заданного радиуса R (смешанное сопряжение).		Из центров O 1 и О 2 провести дуги радиусов R - R 1 и R+R 2 . Получаем точку О - центр дуги сопряжения. Соединить точки O 1 и О 2 с точкой О до пересечения с заданными окружностями. Точки 1и 2 - точки сопряжения.

Лекальные кривые

Это кривые линии, у которых на каждом их элементе непрерывно изменяется кривизна. Лекальные кривые не могут быть вычерчены с помощью циркуля, их построение выполняется по ряду точек. При вычерчивании кривой полученный ряд точек соединяют по лекалу, поэтому ее называют лекальной кривой линией. Точность построения лекальной кривой повышается с увеличением числа промежуточных точек на участке кривой.

К лекальным кривым относятся так называемые плоские сечения конуса – эллипс , парабола , гипербола , которые получаются в результате сечения кругового конуса плоскостью. Такие кривые рассматривались при изучении курса «Начертательная геометрия». К лекальным кривым также относят эвольвенту , синусоиду, спираль Архимеда , циклоидальные кривые .

Эллипс - геометрическое место точек, сумма расстояний которых до двух неподвижных точек (фокусов) есть величина постоянная.

Наиболее широко применяется способ построения эллипса по заданным полуосям АВ и СD. При построении проводят две концентрические окружности, диаметры которых равны заданным осям эллипса. Для построения 12 точек эллипса окружности делят на 12 равных частей и полученные точки соединяют с центром.

На рис. 15 показано построение шести точек верхней половины эллипса; нижняя половина вычерчивается аналогично.

Эвольвента - является траекторией точки окружности, образованной ее развертыванием и выпрямлением (развертка окружности).

Построение эвольвенты по заданному диаметру окружности показано на рис. 16. Окружность делится на восемь равных частей. Из точек 1,2,3 проводят касательные к окружности, направленные в одну сторону. На последней касательной откладывают шаг эвольвенты, равный длине окружности

(2 pR), и полученный отрезок делят также на 8 равных частей. Откладывая на первой касательной одну часть, на второй – две части, на третьей – три части и т.д, получают точки эвольвенты.

Циклоидальные кривые - плоские кривые линии, описываемые точкой, принадлежащей окружности, катящейся без скольжения по прямой линии или окружности. Если при этом окружность катится по прямой линии, то точка описывает кривую, называемую циклоидной.

Построение циклоиды по заданному диаметру окружности d показано на рис.17.

Рис. 17

Окружность и отрезок длиной 2pR делят на 12 равных частей. Через центр окружности проводят прямую, параллельную отрезку. Из точек деления отрезка к прямой проводят перпендикуляры. В точках их пересечения с прямой получаем О 1 , О 2 , О 3 и т.д. - центры перекатываемой окружности.

Из этих центров описываем дуги радиусом R. Через точки деления окружности проводим прямые параллельные прямой, соединяющей центры окружностей. На пересечении прямой, проходящей через точку 1 с дугой, описанной из центра О1, находится одна из точек циклоиды; через точку 2 с другой из центра О2 - другая точка и т.д.

Если же окружность катится по другой окружности, находясь внутри нее (по вогнутой части), то точка описывает кривую называемую гипоциклоидой. Если окружность катится по другой окружности, находясь вне ее (по выпуклой части), то точка описывает кривую, называемую эпициклоидой.

Построение гипоциклоиды и эпициклоиды аналогично, только вместо отрезка длиной 2pR берется дуга направляющей окружности.

Построение эпициклоиды по заданному радиусу подвижной и неподвижной окружностей показано на рис.18. Угол α, который вычисляется по формуле

α = 180°(2r/R), и окружность радиуса R делят на восемь равных частей. Проводится дуга окружности радиуса R+r и из точек О 1 , О 2 , О 3 .. – окружности радиуса r.

Построение гипоциклоиды по заданным радиусам подвижной и неподвижной окружности показано на рис.19. Угол α, который подсчитывается, и окружность радиуса R делятся на восемь равных частей. Проводится дуга окружности радиусом R - r и из точек О 1 , О 2 , О 3 … - окружности радиусом r.

Парабола - это геометрическое место точек, равноудаленных от неподвижной точки - фокуса F и неподвижной прямой - директрисы, перпендикулярной к оси симметрии параболы. Построение параболы по заданному отрезку ОО =АВ и хорде СD показано на рис.20

Прямые ОЕ и ОС разделены на одинаковое число равных частей. Дальнейшее построение ясно из чертежа.

Гипербола - геометрическое место точек, разность расстояний которых от двух неподвижных точек (фокусов) - есть величина постоянная. Представляет собой две разомкнутые, симметрично расположенные ветви.

Постоянные точки гиперболы F 1 и F 2 - это фокусы, а расстояние между ними называется фокусным. Отрезки прямых, соединяющие точки кривой с фокусами, называются радиус-векторами. Гипербола имеет две взаимно перпендикулярные оси - действительную и мнимую. Прямые, проходящие через центр пересечения осей, называются асимптотами.

Построение гиперболы по заданному фокусному расстоянию F 1 F 2 и углу α между асимптотами показано на рис.21. Проводится ось, на которой откладывается фокусное расстояние, которое делится пополам точкой О. Через точку О проводится окружность радиуса 0,5F 1 F 2 до пересечения в точках C, D, E, K. Соединяя точки C с D и E c K, получают точки А и В – вершины гиперболы. От точки F 1 влево отмечают произвольные точки 1, 2, 3… расстояния между которыми должны увеличиваться по мере удаления от фокуса. Из фокусных точек F 1 и F 2 радиусами R=B4 и r=A4 проводятся дуги до взаимного пересечения. Точки пересечения 4 являются точками гиперболы. Остальные точки строятся аналогично.

Синусоида - плоская кривая, выражающая закон изменения синуса угла в зависимости от изменения величины угла.

Построение синусоиды по заданному диаметру окружности d показано

на рис. 22.

Для ее построения делят данную окружность на 12 равных частей; на такое же число равных частей делится отрезок, равный длине данной окружности (2pR). Проводя через точки деления горизонтальные и вертикальные прямые, находят в пересечении их точки синусоиды.

Спираль Архимеда - э то плоская кривая, описываемая точкой, которая равномерно вращается вокруг заданного центра и вместе с тем равномерно удаляется от него.

Построение спирали Архимеда заданному диаметру окружности D показано на рис.23.

Окружность и радиус окружности поделен на 12 равных частей. Дальнейшее построение видно из чертежа.

При выполнении построении сопряжений и лекальных кривых приходится прибегать к простейшим геометрическим построениям - таким как деление окружности или прямой на несколько равных частей, деление угла и отрезка пополам, построение перпендикуляров, биссектрис и т.д. Все эти построения изучались в дисциплине «Черчение» школьного курса, поэтому подробно в данном пособии не рассматриваются.

1.5 Методические указания по выполнению

Могут быть выполнены:
- когда расстояние между центрами O и O1 сопрягаемых дуг больше суммы их радиусов R и R1, т. е. A>R+R1;
- когда расстояние между центрами O и O1 сопрягаемых дуг меньше суммы их радиусов R и R1, т. е. R+R1>A.
Во всех случаях решение задачи сводится к нахождению центра сопряжения O2 и точек сопряжения C и B.

Построим когда A>R+R1

Заданы дуги окружностей радиусов R и R1 и расстояние между их центрами OO1 = A и радиус сопряжения R2.

- из центра O проводим дугу радиуса R+R2;
- из центра O1 проводим дугу радиуса R1+R2.

Для случая когда R+R1>A

построение выполняется аналогично

Построим сопряжение дуг окружностей дугой окружности когда A>R+R1

Заданы дуги окружностей радиусов R и R1 и расстояние между их центрами OO1 = A и радиус сопряжения R2.
Находим центр сопряжения O2:
- из центра O проводим дугу радиуса R2-R;
- из центра O1 проводим дугу радиуса R2-R1.
Пересечение этих дуг определит центр сопряжения O2.

Находим точки сопряжения C и B:
- из точки O2 проводим прямые в центр O и O1;
- находим на пересечении этих прямых с соответствующими дугами точки сопряжения C и B;

точки сопряжения C и B соединяем дугой радиуса R2.

Когда R+R1>A Заданы дуги окружностей радиусов R и R1 и расстояние между их центрами OO1 = A и радиус сопряжения R2

Находим центр сопряжения O2:
- из центра O проводим дугу радиуса R-R2;
- из центра O1 проводим дугу радиуса R1-R2.
Пересечение этих дуг определит центр сопряжения O2.

Находим точки сопряжения C и B:
- из точки O2 проводим прямые в центр O и O1;
- находим на пересечении этих прямых с соответствующими дугами точки сопряжения C и B;

точки сопряжения C и B соединяем дугой радиуса R2

Применение приведенных выше примеров для построения сопряжений элементов рычага,

для построения сопряжений окружностей диаметров 20 и 30 мм дугами AB и EC радиусов R60 и R35 соответственно.

Применение приведенных выше примеров для построения сопряжений элементов однорогого крюка,

Заданы: фa40; b=24; h=36; d=25; d1=20; d2=16,4; d0=M20; l=60; l1=20; l2=30; R=6; R1=20; R2=20; R3=20; R4=15; R5=40; R6=45; R7=6,5; R8=2; c=2; f=4,5

Сопряжения крюка - это наиболее сложный пример на построение сопряжений.
Вычерчивание крюка выполняем в следующем порядке:
- проводим оси и вычерчиваем шейку крюка;
- проводим из центра O1 пересечения осей основную окружность внутреннего очертания крюка. Радиус этой окружности равен a/2.;
- находим центр O2 и проводим из него радиусом R3 основную дугу окружности внешнего очертания крюка. Для построения центра O2 проводим из центра O1 прямую n под углом 45 к осям и засекаем ее из точки N дугой окружности радиуса R3. Точка N удалена от центра O1 на расстояние h+a/2;
- строим сопряжение внешней окружности правым прямолинейным контуром верхней части крюка. Сопрягаемая дуга имеет радиус R4. Центр сопряжения O3 и точки сопряжения K и M находим по общему правилу сопряжения дуги с прямой;
- строим сопряжение внутренней окружности диаметра a с левым прямолинейным контуром верхней части крюка. Радиус сопряжения R4. Центр сопряжения O4 и точки сопряжения A и B определяются аналогично точкам O3, K и M;
- строим очертания носка крюка. Пользуемся построениями приведенными на рисунках... и... .
Находим центры O5, O6 и O7. Носок крюка должен касаться прямой e, проведенной на расстоянии m от горизонтальой оси крюка. Кроме того, зев крюка должен быть равен размеру O. Расстояние O измеряется по линии центров дуг O4O5, ограничивающих контур зева.
Определяем центр O5 дуги радиуса R6. Для этого делаем две засечки: первую из центра O4 радиусом R5+R6+O; вторую - из центра O1 радиусом a/2+R6. Точка сопряжения E лежит на линии центров O1 - O5. Из центра O5 проводим дугу радиуса R6, начиная от точки E.
Находим центр O7 дуги радиуса R7. Засекаем дугой радиуса R6-R7 из центра O5 и засекаем дугой радиуса R6-R7 из центра O6.
Точка сопряжения C лежит на линии центров O5 - O7. Проводим из центра O7 дугу радиуса R7.
Определяем центр O6 дуги радиса R6, сопрягающей носок крюка с внешним контуром крюка. Для этого делаем засечку из центра O2 радиусом R3+R6. Точки сопряжений T и P лежат на линии центров O6 - O7 и O6 - O2.
Из центра O4 проводим дугу, соединяющую точки T и P.

Глава 3. НЕКОТОРЫЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПОСТРОЕНИЯ

§ 14. Общие сведения

При выполнении графических работ приходится решать многие задачи на построение. Наиболее встречающиеся при этом задачи - деление отрезков прямой, углов и окружностей на равные части, построение различных сопряжений прямых с дугами окружностей и дуг окружностей между собой. Сопряжением называют плавный переход дуги окружности в прямую или в дугу другой окружности.

Наиболее часто встречаются задачи на построение следующих сопряжений: двух прямых дугой окружности (скруглением углов); двух дуг окружностей прямой линией; двух дуг окружностей третьей дугой; дуги и прямой второй дугой.

Построение сопряжений связано с графическим определением центров и точек сопряжения. При построении сопряжения широко используются геометрические места точек (прямые, касательные к окружности; окружности, касательные друг к другу). Это объясняется тем, что они основаны на положениях и теоремах геометрии.

10. Вопросы для самопроверки

ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ

15. Какая плоская кривая называется эвольвентой?

15. Деление отрезка прямой

§ 15. Деление отрезка прямой

Чтобы разделить заданный отрезок АВ на две равные части, точки его начала и конца принимают за центры, из которых проводят дуги радиусом, по величине превышающим половину отрезка АВ. Дуги проводят до взаимного пересечения, где получают точки С и D. Линия, соединяющая эти точки, разделит отрезок в точке К на две равные части (рис. 30, а).

Чтобы разделить отрезок АВ на заданное количество равных участков п, под любым острым углом к АВ проводят вспомогательную прямую, на которой из общей заданной прямой точки откладывают п равных участков произвольной длины (рис. 30, б). Из последней точки (на чертеже - шестой) проводят прямую до точки В и через точки 5, 4, 3, 2, 1 проводят прямые, параллельные отрезку 6В. Эти прямые и отсекут на отрезке АВ заданное число равных отрезков (в данном случае 6).

Рис. 30 Деление заданного отрезка АВ на две равные части

Изображение:

16. Деление окружности

§ 16. Деление окружности

Чтобы разделить окружность на четыре равные части, проводят два взаимно перпендикулярных диаметра: на пересечении их с окружностью получаем точки, разделяющие окружность на четыре равные части (рис. 31, а).

Чтобы разделить окружность на восемь равных частей, дуги, равные четвертой части окружности, делят пополам. Для этого из двух точек, ограничивающих четверть дуги, как из центров радиусов окружности выполняют засечки за ее пределами. Полученные точки соединяют с центром окружностей и на пересечении их с линией окружности получают точки, делящие четвертные участки пополам, т. е. получают восемь равных участков окружности (рис. 31, б).

На двенадцать равных частей окружность делят следующим образом. Делят окружность на четыре части взаимно перпендикулярными диаметрами. Приняв точки пересечения диаметров с окружностью А, В, С, D за центры, величиной радиуса проводят четыре дуги до пересечения с окружностью. Полученные точки 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и точки А, В, С, D разделяют окружность на двенадцать равных частей (рис. 31, в).

Пользуясь радиусом, нетрудно разделить окружность и на 3, 5, 6, 7 равных участков.

Рис. 31 Пользуясь радиусом, нетрудно разделить окружность и на несколько равных участков.

Изображение:

17. Округление углов

§ 17. Скругление углов

Сопряжение двух пересекающихся прямых дугой заданного радиуса называют скруглением углов. Его выполняют следующим образом (рис. 32). Параллельно сторонам угла, образованного данными

прямыми, проводят вспомогательные прямые на расстоянии, равном радиусу. Точка пересечения вспомогательных прямых является центром дуги сопряжения.

Из полученного центра О опускают перпендикуляры к сторонам данного угла и на пересечении их получают точки сопряжения А а В. Между этими точками проводят сопрягающую дугу радиусом R из центра О.

Рис. 32 Сопряжение двух пересекающихся прямых дугой заданного радиуса называют скруглением углов

Изображение:

18. Сопряжение дуг окружностей прямой линией

§ 18. Сопряжение дуг окружностей прямой линией

При построении сопряжения дуг окружностей прямой линией можно рассмотреть две задачи: сопрягаемая прямая имеет внешнее или внутреннее касание. В первой задаче (рис. 33, а) из центра дуги

меньшего радиуса R1 проводят касательную вспомогательной окружности, проведенной радиусом R - RI. Ее точку касания Ко используют для построения точки сопряжения А на дуге радиуса R.

Для получения второй точки сопряжения А 1 на дуге радиуса R 1 проводят вспомогательную линию О 1 А 1 параллельно О А. Точками A и А 1 будет ограничен участок внешней касательной прямой.

Задача построения внутренней касательной прямой (рис. 33, б) решается, если вспомогательную окружность построить радиусом, равным R + R 1 ,

Рис. 33 Сопряжение дуг окружностей прямой линией

Изображение:

19. Сопряжение двух дуг окружностей третьей дугой

§ 19. Сопряжение двух дуг окружностей третьей дугой

При построении сопряжения двух дуг окружностей третьей дугой заданного радиуса можно рассмотреть три случая: когда сопрягающая дуга радиуса R касается заданных дуг радиусов R 1 и R 2 с внешней стороны (рис. 34, а); когда она создает внутреннее касание (рис. 34, б); когда сочетаются внутреннее и внешнее касания (рис. 34, в).

Построение центра О сопрягающей дуги радиуса R при внешнем касании осуществляется в следующем порядке: из центра О 1 радиусом, равным R + R 1 , проводят вспомогательную дугу, а из центра O 2 проводят вспомогательную дугу радиусом R + R 2 . На пересечении дуг получают центр О сопрягаемой дуги радиуса R, а на пересечении радиусом R + R 1 и R + R 2 с дугами окружностей получают точки сопряжения А и А 1 .

Построение центра О при внутреннем касании отличается тем, что из центра О 1 R - R 1 а из центра О 2 радиусом R - R 2 . При сочетании внутреннего и внешнего касания из центра О 1 проводят вспомогательную окружность радиусом, равным R - R 1 , а из центра О 2 - радиусом, равным R + R 2 .

20. Сопряжение дуги окружности и прямой линии второй дугой

§ 20. Сопряжение дуги окружности и прямой линии второй дугой

Здесь может быть рассмотрено два случая: внешнее сопряжение (рис. 35, а) и внутреннее (рис. 35, б). В том и в другом случае при построении сопрягающей дуги радиуса R центр сопряжения О лежит на пересечении геометрических мест точек, равно удаленных от прямой и дуги радиуса R на величину R 1 .

При построении внешнего сопряжения параллельно заданной прямой на расстоянии R 1 в сторону окружности проводят вспомогательную прямую, а из центра О радиусом,равным R + R 1 , - вспомогательную окружность, и на их пересечении получают точку О 1 - центр сопрягающей окружности. Из этого центра радиусом R проводят сопрягающую дугу между точками А и А 1 , построение которых видно из чертежа.

Построение внутреннего сопряжения отличается тем, что из центра О проводят вспомогательную дугу радиусом, равным R - R 1 .

Рис 34 Внешнее сопряжение дуги окружности и прямой линии второй дугой

Изображение:

Рис 35 Внутреннее сопряжение дуги окружности и прямой линии второй дугой

Изображение:

21. Овалы

§21. Овалы

Плавные выпуклые кривые, очерченные дугами окружностей разных радиусов, называют овалами. Овалы состоят из двух опорных окружностей с внутренними сопряжениями между ними.

Различают овалы трехцентровые и многоцентровые. При вычерчивании многих деталей, например кулачков, фланцев, крышек и других, контуры их очерчивают овалами. Рассмотрим пример построения овала по заданным осям. Пусть для четырехцентрового овала, очерченного двумя опорными дугами радиуса R и двумя сопрягающими дугами радиуса r , заданы большая ось АВ и малая ось CD. Величину радиусов R u r надо определить путем построений (рис. 36). Соединим концы большой и малой оси отрезком AС, на котором отложим разность СЕ большой и малой полуосей овала. Проведем перпендикуляр к середине отрезка AF, который пересечет большую и малую оси овала в точках О 1 и О 2 . Эти точки будут центрами сопрягающихся дуг овала, а точка сопряжения будет лежать на самом перпендикуляре.

Рис. 36 Плавные выпуклые кривые, очерченные дугами окружностей разных радиусов, называют овалами

22. Лекальные кривые

§ 22. Лекальные кривые

Лекальными называют плоские кривые, вычерченные с помощью лекал по предварительно построенным точкам. К лекальным кривым относят: эллипс параболу, гиперболу, циклоиду, синусоиду эвольвенту и др.

Эллипс представляет собой замкнутую плоскую кривую второго порядка. Она характеризуется тем, что сумма расстояний от любой ее

Рис. 37

точки до двух точек фокусов есть величина постоянная, равная большей оси эллипса. Построить эллипс можно несколькими способами. Например, можно построить эллипс по его большой АВ и малой CD осям (рис. 37, а). На осях эллипса как на диаметрах строят две окружности, которые можно разделить радиусами на несколько частей. Через точки деления большой окружности проводят прямые, параллельные малой оси эллипса, а через точки деления малой окружности - прямые, параллельные большой оси эллипса. Точки пересечения этих прямых и являются точками эллипса.

Можно привести пример построения эллипса по двум сопряженным диаметрам (рис. 37,б) MN и KL. Сопряженными два диаметра называют, если каждый из них делит пополам хорды, параллельные другому диаметру. На сопряженных диаметрах строят параллелограмм. Один из диаметров MN делят на равные части; на такие же части делят и стороны параллелограмма, параллельные другому диаметру, нумеруя их, как показано на чертеже. Из концов второго сопряженного диаметра KL через точки деления проводят лучи. В пересечении одноименных лучей получают точки эллипса.

Параболой называют незамкнутую кривую второго порядка, все точки которой равно удалены от одной точки - фокуса и от данной прямой - директрисы.

Рассмотрим пример построения параболы по ее вершине О и какой-либо точке В (рис. 38, а). С этой целью строят прямоугольник ОABC и делят его стороны на равные части, из точек деления проводят лучи. В пересечении одноименных лучей получают точки параболы.

Можно привести пример построения параболы в виде кривой, касательной прямой с заданными на них точками А и В (рис. 38, б). Стороны угла, образованного этими прямыми, делят на равные части и ну-

меруют точки деления. Одноименные точки соединяют прямыми. Параболу вычерчивают как огибающую этих прямых.

Гиперболой называют плоскую незамкнутую кривую второго порядка, состоящую из двух веток, концы которых удаляются в бесконечность, стремясь к своим асимптотам. Гипербола отличается тем, что каждая точка ее обладает особым свойством: разность ее расстояний от двух данных точек-фокусов есть величина постоянная, равная расстоянию между вершинами кривой. Если асимптоты гиперболы взаимно перпендикулярны, она называется равнобокой. Равнобокая гипербола широко применяется для построения различных диаграмм, когда задана своими координатами одна точка М (рис. 38, в). В этом случае через заданную точку проводят линии АВ и KL параллельно координатным осям. Из полученных точек пересечения проводят линии, параллельные координатным осям. В их пересечении получают точки гиперболы.

Сопряжение.

Сопряжение- плавный переход одной линии в другую.

Сопряжение пересекающихся прямых дугой окружности заданного радиуса.

Задача сводится к проведению окружности, касающейся обеих заданных прямых линий.

Вариант 1.

Проводим вспомогательные прямые параллельно заданным на расстоянии R от заданных.

Точка пересечения этих прямых будет центромО дуги сопряжения. Перпендикуляры, опущенные из центра О на

заданные прямые, определят точки касания К и К 1 .

Вариант 2.

Построение такое же.

Сопряжения. Построение сопряжения линий.

Вариант 3.

Если требуется провести окружность, чтобы она касалась трех пересекающихся прямых линий, то в этом случае

Радиус не может быть задан условиями задачи. Центр О окружности находится на пересечении биссектрис углов

В и С . Радиусом окружности является перпендикуляр, опущенный из центра О на любую из 3-х заданных прямых

Линий.

Сопряжения. Построение сопряжений линий.

Построение внешнего сопряжения данной окружности с данной прямойдугой заданного радиуса R 1 .

Из центра О данной окружности проводим дугу вспомогательной окружности радиусом R+R 1 .

Проводим прямую параллельно заданной на расстоянии R 1 .

Пересечение прямой и вспомогательной дуги даст точку центра дуги сопряжения О 1 .

Точка касания дуг К лежит на линии ОО 1 .

Точка касания дуги и линии К 1 лежит на пересечении перпендикуляра из точки О 1 на прямую с дугой.

Сопряжения. Построение внешнего сопряжения окружности с прямой.

Построение внутреннего сопряжения данной окружности с данной прямой дугой заданного радиуса R 1 .

Из центра О данной окружности проводим вспомогательную окружность радиусом R- R 1 .

Сопряжения. Построение внутреннего сопряжения окружности с прямой.

Построение сопряжения двух данных окружностей дугой заданного радиуса R 3 .

Внешнее касание.

Из центра окружности О 1 R 1 +R 3 .

Из центра окружности О 2 описываем дугу вспомогательной окружности радиусом R 2 +R 3 .

Пересечение дуг вспомогательных окружностей даст точку О 3 , которая является центром дуги сопряжения

Точки касания К 1 и К 2 находятся на линиях О 1 О 3 и О 2 О 3 .

Внутреннее касание

Из центра окружности О 1 описываем дугу вспомогательной окружности радиусом R 3 -R 1 .

Из центра окружности О 2 описываем дугу вспомогательной окружности радиусом R 3 - R 2 .

Пересечение

(окружности с радиусом R 3) .

Сопряжения. Сопряжение двух окружностей дугой.

Внешнее и внутреннее касание .

Заданы две окружности с центрами О 1 и О 2 с радиусами r 1 и r 2 . Необходимо провести окружность заданного

Радиуса R так, чтобы обеспечить с одной окружностью внутреннее касание, а с другой - внешнее.

Из центра окружности О 1 описываем дугу вспомогательной окружности радиусом R-r 1 .

Изцентра окружности О 2 описываем дугу вспомогательной окружности радиусом R+r 2 .

Пересечение дуг вспомогательных окружностей даст точку, которая является центром дуги сопряжения

(окружности с радиусом R) .

Сопряжения. Сопряжение двух окружностей дугой.

Построение окружности, проходящей через заданную точку А и касающейся данной окружности

в заданной точке В.

Находим середину прямой линии АВ . Через середину линии АВ поводим перпендикуляр. Пересечение продолжения

Линии ОВ и перпендикуляра дает точку О 1 . О 1 - центр искомой окружности с радиусом R = O 1 B = O 1 A.

Сопряжения. Внутреннее касание окружности и дуги .

Построение сопряжения окружности с прямой линией в заданной на прямой точке А.

Из заданной точки А линии LM восстанавливаем перпендикуляр к прямой линии LM . На продолжении

Перпендикуляра откладываем отрезок АВ . АВ = R. Соединяем точку В с центром окружности О 1 прямой.

Из точки А проводим прямую линию параллельно ВО 1 до пересечения с окружностью. Получим точку К - точку

Касания. Соединим точку К с центром окружности О 1 . Продлим линии О 1 К и АВ до пересечения. Получим точку

О 2 , которая является центром дуги сопряжения с радиусом О 2 А = О 2 К.

Сопряжения. Сопряжение окружности с прямой в заданной точке.

Построение сопряжения окружности с прямой линией в заданной на окружности точке А.

Внешнее касание .

Проводим касательную к окружности через точку А. Пересечение касательной с прямой линией LM даст точку В.

Делим угол пополам

О 1 . О 1 О 1 А = О 1 К.

Внутреннее касание.

Проводим касательную к окружности через точку А. Пересечение касательной с прямой LM даст точку В.

Делим угол , образованный касательной и прямой линией LM , пополам . Пересечение биссектрисы угла и

Продолжения радиуса ОА даст точку О 1 . О 1 - О 1 А = О 1 К.

Сопряжения. Сопряжение окружности с прямой в заданной точке на окружности.

Построение сопряжения двух неконцентрических дуг окружностей дугой заданного радиуса.

Проводим из центра дуги О 1 вспомогательную дугу радиусом R 1 -R 3 . Проводим из центра дуги О 2 вспомогательную

Дугу радиусом R 2 +R 3 . Пересечение дуг даст точку О. О - центр дуги сопряжения с радиусом R 3 . Точки касания

К 1 и К 2 лежат на линиях ОО 1 и ОО 2 .

Сопряжения. Сопряжение 2-х неконцентрических дуг окружностей дугой.

Построение лекальной кривой подбором дуг.

Подбирая центры дуг, совпадающих с участками кривой, можно циркулем вычертить любую лекальную кривую.

Для того чтобы дуги плавно переходили одна в другую, необходимо, чтобы точки их сопряжения (касания)

Находились на прямых линиях, соединяющих центры этих дуг.

Последовательность построений.

Подбираем центр 1 дугипроизвольного участка ab.

На продолжении первого радиуса подбираем центр 2 радиуса дуги участка bc.

На продолжении второго радиуса подбираем центр 3 радиуса дуги участка cd и т. д.

Так строим всю кривую.

Сопряжения. Подбор дуг.

Построение сопряжения двух параллельных прямых двумя дугами.

Заданные на прямых параллельных линиях точки А и В соединяем линией АВ.

Выбираем на прямой АВ произвольную точку М .

Делим отрезки АМ и ВМ пополам .

Восстанавливаем в серединах отрезков перпендикуляры.

В точках А и В, заданных прямых, восстанавливаем перпендикуляры к прямым.

Пересечение соответствующих перпендикуляров даст точки О 1 и О 2 .

О 1 центр дуги сопряжения с радиусом О 1 А = О 1 М.

О 2 центр дуги сопряжения с радиусом О 2 В = О 2 М.

Если точку М выбрать на середине линии АВ , то радиусы дуг сопряжения будут равны.

Касание дуг в точке М , находящейся на линии О 1 О 2 .

Сопряжения. Сопряжение параллельных прямых двумя дугами.

В общем случае построение сопряжения окружности m радиуса R 1 и прямой l окружностью радиуса R (рис. 30, а, б) производится следующим образом:

– на расстоянии R параллельно l проводим l’ (ГМ к прямой);

– с центром в точке О 1 проводим m’ (ГМ к окружности), радиусом равным сумме R и R 1 или радиусом равным разности R и R 1 ;

– точка О пересечения l’ и m’ является центром сопряжения;

– опускаем из О перпендикуляр на прямую l. Получаем точку сопряжения А;

– через О и О 1 проводим прямую и отмечаем точку сопряжения В пересечения ее с окружностью m;

– с центром в точке О радиусом R между точками А и В проводим дугу сопряжения.

Рис. 30. Построение сопряжения прямой линии с окружностью

Сопряжение двух окружностей

При построении внешнего сопряжения двух окружностей m 1 и m 2 дугой заданного радиуса R (рис.31) центр сопрягающей дуги – точка О – определяется пересечением двух геометрических мест m 1 ’ и m 2 ’ – вспомогательных окружностей радиусов R+R 1 и R+R 2 , проведенных соответственно из центров сопрягаемых окружностей, т.е. из точек О 1 и О 2 . Точки сопряжения А и В определяются как точки пересечения заданных окружностей с прямыми ОО 1 и ОО 2 .

Внутреннее сопряжение дуг радиусов R 1 и R 2 дугой радиуса R показано на рис. 32.

Рис. 31. Внешнее сопряжение двух окружностей

Рис. 32. Внутреннее сопряжение двух окружностей

Для определения центра О дуги сопряжения проводим из точек О 1 и О 2 вспомогательные дуги m 1 ’ и m 2 ’ – два геометрических места – радиусами R–R 1 и R–R 2 . Точка пересечения этих дуг является центром сопряжения. Из точки О через точки О 1 и О 2 проводим прямые до пересечения с окружностями m 1 и m 2 и получаем точки сопряжения А и В. Между этими точками и проводится дуга окружности сопряжения радиуса R с центром в точке О.

При смешанном сопряжении (рис. 33) центр сопряжения О определяется в пересечении двух геометрических мест – вспомогательных окружностей радиусов R+R 1 и R–R 2 , проведенных соответственно из центров О 1 и О 2 . Точки сопряжения А и В лежат на пересечении линий центров ОО 1 и ОО 2 с дугами заданных окружностей.

Рис. 33. Построение смешанного сопряжения двух окружностей

Построение касательных прямых

Построение касательных к окружностям основано на том, что касательная прямая перпендикулярна к радиусу окружности, проведенному в точку касания.

Построение касательной к окружности из точки А, лежащей вне окружности (рис. 34). Отрезок ОА, соединяющий данную точку А с центром О окружности, делим пополам и из полученной точки О 1 , как из центра, описываем вспомогательную окружность радиусом О 1 А. Вспомогательная окружность пересекает заданную в точке В, являющейся точкой касания. Прямая АВ будет касательной к окружности, т.к. угол АВО прямой, как вписанный во вспомогательную окружность и опирающийся на ее диаметр.

Построение касательной к двум окружностям. Касательная к двум окружностям может быть внешней, если обе окружности расположены с одной стороны от нее, и внутренней, если окружности расположены с разных сторон от касательной.

Рис. 34. Построение касательной к окружности

Для построения внешней касательной к окружностям радиусов R 1 и R 2 (рис. 35) поступаем следующим образом:

1). из центра О 2 большей окружности проводим вспомогательную окружность радиусом R 2 –R 1 ;

2). отрезок О 1 О 2 делим пополам;

3). с центром О 3 проводим вспомогательную окружность радиусом О 3 О 2 ;

4). отмечаем точки пересечения двух вспомогательных окружностей - М и N;

5). через точку О 2 и полученные точки проводим прямые до пересечения с окружностью радиуса R 2 . Получаем точки В и D;

6). из центра О 1 проводим прямые О 1 А и О 1 С соответственно параллельные О 2 В и О 2 D до пересечения с окружностью радиуса R 1 в точках А и С.

Прямые АВ и СD – искомые внешние касательные к двум окружностям.

Рис. 35. Построение внешней касательной к двум окружностям

Построение внутренней касательной к двум окружностям радиусов R 1 и R 2 (рис. 36).

Рис. 36. Построение внутренней касательной к двум окружностям

Из центра одной из окружностей, например из О 1 , проводим вспомогательную окружность радиусом R 1 + R 2 . Делим отрезок О 1 О 2 пополам и из полученной точки О 3 проводим вторую вспомогательную окружность радиусом О 1 О 3 . Точки М и N пересечения вспомогательных окружностей соединяем прямыми с центром О 1 и на их пересечении с окружностью радиуса R 1 получаем точки касания А и C. Из точки О 2 проводим прямую, параллельную О 1 А и получаем точку касания В на окружности R 2 . Аналогично строится точка D. Прямые АВ и СD – искомые внутренние касательные к двум окружностям.