ინტეგრირებულია მშენებლობაში, სადაც ის გამოიყენება. რეზიუმე: დიფერენციალური და ინტეგრალური გამოთვლების გამოყენება MATLab-ში ფიზიკური და გეომეტრიული ამოცანების გადასაჭრელად

დოკუმენტის შინაარსის ნახვა
„MR კომბინირებული გაკვეთილი მასწავლებლისთვის „ინტეგრალური გამოთვლის საფუძვლები. განსაზღვრული ინტეგრალი“.

სახელმწიფო ავტონომიური საგანმანათლებლო

საშუალო პროფესიული განათლების დაწესებულება

ნოვოსიბირსკის რეგიონი

"ბარაბინსკის სამედიცინო კოლეჯი"

მეთოდოლოგიური განვითარება

კომბინირებული გაკვეთილი მასწავლებლისთვის

დისციპლინა "მათემატიკა"

ნაწილი 1.მათემატიკური ანალიზი

საგანი1.6. ინტეგრალური კალკულუსის საფუძვლები. განსაზღვრული ინტეგრალი

სპეციალობა

060101 ზოგადი მედიცინა

კარგად- პირველი

მეთოდოლოგიური ფურცელი

თემის შესწავლისას სახელმწიფო სტანდარტების მოთხოვნების ფორმირება

« ინტეგრალური კალკულუსის საფუძვლები. განსაზღვრული ინტეგრალი"

უნდა იცოდე:

მათემატიკის მნიშვნელობა პროფესიულ საქმიანობაში და პროფესიული საგანმანათლებლო პროგრამის დაუფლებაში;

გამოყენებითი ამოცანების ამოხსნის ძირითადი მათემატიკური მეთოდები;

ინტეგრალური და დიფერენციალური გამოთვლების საფუძვლები.

თემის შესწავლის შედეგად მოსწავლემ უნდა შეეძლოს:

პროფესიული საქმიანობის სფეროში გამოყენებული პრობლემების გადაჭრა;

გაკვეთილის მიზნები:

საგანმანათლებლო მიზნები:განუსაზღვრელი და განსაზღვრული ინტეგრალის გამოთვლის უნარების გამეორება და კონსოლიდაცია, განსაზღვრული ინტეგრალის გამოთვლის მეთოდების განხილვა, განსაზღვრული ინტეგრალის პოვნის უნარის კონსოლიდაცია.

საგანმანათლებლო მიზნები: ხელი შეუწყოს კომუნიკაციის, ყურადღების, საგნისადმი ინტერესის კულტურის ჩამოყალიბებას, ხელი შეუწყოს სტუდენტს თავისი მომავალი პროფესიის არსის და სოციალური მნიშვნელობის გააზრებას და მის მიმართ მდგრადი ინტერესის გამოვლენას.

განვითარების მიზნები:

წვლილი შეიტანოს

შედარების, განზოგადების და მთავარის გამოკვეთის ტექნიკის გამოყენების უნარის გამომუშავება;

მათემატიკური ჰორიზონტის განვითარება, აზროვნება და მეტყველება, ყურადღება და მეხსიერება.

საქმიანობის ტიპი: კომბინირებული გაკვეთილი

გაკვეთილის ხანგრძლივობა: 90 წუთი

ინტერდისციპლინური კავშირები:ფიზიკა, გეომეტრია და ყველა საგანი, სადაც მათემატიკა გამოიყენება

ლიტერატურა:

გილიაროვა მ.გ. მათემატიკა სამედიცინო კოლეჯებისთვის. – Rostov n/d: Phoenix, 2011. – 410, გვ. - (Წამალი)

მათემატიკა: სახელმძღვანელო. შემწეობა / ვ.ს. მიხეევი [და სხვები]; რედაქტორი ნ.მ. დემინა. – Rostov n/d: Phoenix, 2009. – 896 გვ. – (საშუალო პროფესიული განათლება).

საგაკვეთილო აღჭურვილობა:

დარიგება

გაკვეთილის მიმდინარეობა

დანართი 1

საცნობარო ცოდნის განახლება

მათემატიკური კარნახი

1 ვარიანტი

მე.

II.

ვარიანტი 2

ᲛᲔ.გამოთვალეთ განუსაზღვრელი ინტეგრალები

II. დაასახელეთ ინტეგრალების გამოთვლის მეთოდი

დანართი 2

ინფორმაცია და საცნობარო მასალა

განსაზღვრული ინტეგრალი

ინტეგრალის ცნება დაკავშირებულია ფუნქციის დიფერენცირების შებრუნებულ პრობლემასთან. მოსახერხებელია განიხილოს გარკვეული ინტეგრალის კონცეფცია მრუდი ტრაპეციის ფართობის გამოთვლის პრობლემის გადასაჭრელად.

იპოვონ ფიგურის ფართობი, რომელიც შემოსაზღვრულია ორივე მხრიდან წერტილებში აღდგენილი პერპენდიკულურით ადა ბ, უწყვეტი მრუდის თავზე y =ვ(X)და ღერძის ქვემოთ ოჰ, დავყოთ სეგმენტი [A,ბ] მცირე მონაკვეთებისთვის:

ა = x 0 x 1 x 2 ... x ნ -1 x ნ = ბ.

აღვადგინოთ პერპენდიკულარები ამ წერტილებიდან მრუდის კვეთამდე y =ვ(X). მაშინ მთელი ფიგურის ფართობი იქნება დაახლოებით ტოლი ელემენტარული მართკუთხედების ჯამისა, რომელთა ბაზა ტოლია  X მე = x მე -X მე -1 და სიმაღლე უდრის ფუნქციის მნიშვნელობას ვ(X)თითოეული მართკუთხედის შიგნით. რაც უფრო მცირეა მნიშვნელობა  X მემით უფრო ზუსტად დადგინდება ფიგურის ფართობი ს . აქედან გამომდინარე:

განმარტება.თუ არსებობს ინტეგრალური ჯამის ზღვარი, რომელიც არ არის დამოკიდებული სეგმენტის [a,ბ] და პუნქტების შერჩევა, მაშინ ამ ზღვარს ფუნქციის განსაზღვრული ინტეგრალი ეწოდებავ(X) სეგმენტზე [a,ბ] და აღნიშნეთ:

სადვ(x) არის ინტეგრანდული ფუნქცია, x არის ინტეგრაციის ცვლადი დაბ- ინტეგრაციის საზღვრები (წაიკითხეთ: განსაზღვრული ინტეგრალიადო ბef x de x-დან).

ამრიგად, გეომეტრიული მნიშვნელობაგანსაზღვრული ინტეგრალი დაკავშირებულია ფუნქციით ზემოდან შემოსაზღვრული მრუდი ტრაპეციის ფართობის დადგენასთან. y =ვ(X), ქვედა ღერძი ოჰ, ხოლო გვერდებზე - წერტილებზე აღდგენილი პერპენდიკულარები ადა ბ.

განსაზღვრული ინტეგრალის გამოთვლის პროცესს ე.წ ინტეგრაცია.ნომრები ა დაბ შესაბამისად იწოდებიან ინტეგრაციის ქვედა და ზედა საზღვრები.

განსაზღვრული ინტეგრალის თვისებები

თუ ინტეგრაციის საზღვრები ტოლია, მაშინ განსაზღვრული ინტეგრალი ნულის ტოლია:



თუ თქვენ გადააწყობთ ინტეგრაციის საზღვრებს, ინტეგრალის ნიშანი საპირისპიროდ შეიცვლება:



მუდმივი ფაქტორი შეიძლება ამოღებულ იქნას განსაზღვრული ინტეგრალის ნიშნიდან:



სასრული რაოდენობის უწყვეტი ფუნქციების ჯამის განსაზღვრული ინტეგრალივ 1 (x), ვ 2 (x)... ვ ნ (x), მოცემულია ინტერვალზე [a,ბ], უდრის ფუნქციების ჯამების განსაზღვრული ინტეგრალების ჯამს:

ინტეგრაციის სეგმენტი შეიძლება დაიყოს ნაწილებად:



თუ ფუნქცია ყოველთვის დადებითია ან ყოველთვის უარყოფითი ინტერვალზე [a,ბ], მაშინ განსაზღვრული ინტეგრალი არის ფუნქციის იგივე ნიშნის რიცხვი:

ნიუტონ-ლაიბნიცის ფორმულა

ნიუტონ-ლაიბნიცის ფორმულა ადგენს კავშირს განსაზღვრულ და განუსაზღვრელ ინტეგრალებს შორის.

თეორემა.ფუნქციის განსაზღვრული ინტეგრალის მნიშვნელობავ(X) სეგმენტზე [a,ბ] უდრის მოცემულ სეგმენტზე ამ ფუნქციის რომელიმე ანტიდერივატივის ზრდას:

ამ თეორემიდან გამომდინარეობს, რომ განსაზღვრული ინტეგრალი არის რიცხვი, ხოლო განუსაზღვრელი ინტეგრალი არის ანტიწარმოებული ფუნქციების ერთობლიობა. ამრიგად, ფორმულის მიხედვით, გარკვეული ინტეგრალის მოსაძებნად აუცილებელია:

1. იპოვეთ ამ ფუნქციის განუსაზღვრელი ინტეგრალი დასმით C = 0.

2. ჩაანაცვლეთ ანტიწარმოებული არგუმენტის ნაცვლად გამოხატულებაში Xზედა ზღვარი ჯერ ბ, შემდეგ ქვედა ზღვარი A,და გამოვაკლოთ მეორე პირველ შედეგს.

განსაზღვრული ინტეგრალების გამოთვლა სხვადასხვა მეთოდით

განსაზღვრული ინტეგრალების გამოთვლისას გამოიყენეთ განხილული მეთოდები განუსაზღვრელი ინტეგრალების მოსაძებნად.

პირდაპირი ინტეგრაციის მეთოდი

ეს მეთოდი ეფუძნება ტაბულური ინტეგრალის გამოყენებას და განსაზღვრული ინტეგრალის ძირითად თვისებებს.

მაგალითები:

1) იპოვე

გამოსავალი:

2) იპოვე

გამოსავალი:

3) იპოვე

გამოსავალი:

ინტეგრაციის ცვლადის ჩანაცვლების მეთოდი

მაგალითი:

გამოსავალი.ინტეგრალის საპოვნელად ვიყენებთ ცვლადის მეთოდის შეცვლას. შემოიღეთ ახალი ცვლადი

u=3 x ‑ 1 , მაშინ დუ = 3 dx, dx = . ახალი ცვლადის დანერგვისას აუცილებელია ინტეგრაციის ლიმიტების შეცვლა, ვინაიდან ახალ ცვლადს ექნება ცვლილების განსხვავებული ლიმიტები. ისინი გვხვდება ცვლადის ჩანაცვლების ფორმულის გამოყენებით. ასე რომ, ზედა ზღვარი ტოლი იქნება და ბ = 32 ‑ 1 = 5 , ქვედა - და ა =31 ‑ 1 = 2 . ცვლადის და ინტეგრაციის საზღვრების ჩანაცვლებით, მივიღებთ:

ნაწილების მიერ ინტეგრაციის მეთოდი

ეს მეთოდი ეფუძნება ნაწილების მიერ ინტეგრაციის ფორმულების გამოყენებას გარკვეული ინტეგრალისთვის:

მაგალითი:

1) იპოვე

გამოსავალი:

დაე u = ლნ x, dv = xdx, მაშინ

განსაზღვრული ინტეგრალის გამოყენება სხვადასხვა სიდიდის გამოსათვლელად.

ბრტყელი ფიგურის ფართობის გამოთვლა

ადრე ნაჩვენები იყო, რომ განსაზღვრული ინტეგრალი შეიძლება გამოყენებულ იქნას ფუნქციის გრაფიკს შორის ჩასმული ფიგურის ფართობის გამოსათვლელად. y =ვ(x), ღერძი ოჰდა ორი სწორი ხაზი X = a და x =ბ.

თუ ფუნქცია y =ვ(x) არის აბსცისის ხაზის ქვემოთ, ე.ი. ვ(x)

თუ ფუნქცია y =ვ(x) რამდენჯერმე კვეთს ღერძს ოჰ, მაშინ საჭიროა ცალ-ცალკე მოძებნოთ ტერიტორიები ნაკვეთებისთვის როცა ვ(x) 0 და დაამატეთ ისინი ფუნქციის დროს არეების აბსოლუტურ მნიშვნელობებს ვ(x)

მაგალითი 1.იპოვეთ ფუნქციით შემოსაზღვრული ფიგურის ფართობი y = ცოდვაXდა ღერძი ოჰმდებარეობა ჩართულია 0  X 2.

გამოსავალი.ფიგურის ფართობი უდრის ფართობების ჯამს:

ს = ს 1 + | ს 2 |,

სადაც S 1 - ; ფართობი ზე ზე0 ; ს 2 - ფართობი ზე 0-ზე.

S=2 + 2 = 4 კვ. ერთეული.

მაგალითი 2.იპოვეთ ფიგურის ფართობი, რომელიც ჩასმულია მრუდს შორის y = x 2 , ღერძი ოჰდა სწორი x = 0, x = 2.

გამოსავალი.მოდით ავაშენოთ ფუნქციის გრაფიკები ზე= x 2 და x = 2.

დაჩრდილული ტერიტორია იქნება ფიგურის სასურველი არე. იმიტომ რომ ვ(x) 0, მაშინ

სიბრტყე მრუდის რკალის სიგრძის გამოთვლა

თუ მრუდი y =ვ(X)სეგმენტზე [A,ბ] აქვს უწყვეტი წარმოებული, მაშინ ამ მრუდის რკალის სიგრძე გვხვდება ფორმულით:

მაგალითი

იპოვეთ მრუდის რკალის სიგრძე წ 2 = x 3 სეგმენტზე (y0)

გამოსავალი

მრუდის განტოლებაა y = x 3/2, შემდეგ y’ = 1,5 x 1/2.

ჩანაცვლების გაკეთება 1+ ჩვენ ვიღებთ:

დავუბრუნდეთ საწყის ცვლადს:

Გაანგარიშება ბრუნვის სხეულის მოცულობა

თუ მრუდი ტრაპეცია შემოსაზღვრულია მრუდით y =ვ(x) და სწორი x=aდა x=ბ, ბრუნავს ღერძის გარშემო ოჰ, მაშინ ბრუნვის მოცულობა გამოითვლება ფორმულით:

მაგალითი

იპოვეთ სხეულის მოცულობა, რომელიც წარმოიქმნება ღერძის გარშემო ბრუნვით ოჰნახევარტალღოვანი სინუსოიდი
წ= ცოდვა x, ზე 0≤ x≤.

გამოსავალი

ფორმულის მიხედვით გვაქვს:

ამ ინტეგრალის გამოსათვლელად ჩვენ გავაკეთებთ შემდეგ გარდაქმნებს:

დანართი 3

შესწავლილი მასალის პირველადი კონსოლიდაცია

1. განსაზღვრული ინტეგრალების გამოთვლა

2. განსაზღვრული ინტეგრალის აპლიკაციები

ფიგურის ფართობი

გამოთვალეთ ხაზებით შემოსაზღვრული ფიგურის ფართობი:

სხეულის (წერტილის) მიერ გავლილი გზა მართკუთხა მოძრაობის დროს გარკვეული პერიოდის განმავლობაშიტ 1 ადრეტ 2 (

ვ =3 ტ 2 +2 ტ -1 (ტგ-ში,ვმ/წმ-ში).იპოვეთ სხეულის მიერ გავლილი მანძილი მოძრაობის დაწყებიდან 10 წამში.

წერტილის სიჩქარე იცვლება კანონის მიხედვით ვ =6 ტ 2 +4 (ტგ-ში,ვმ/წმ-ში).იპოვეთ წერტილის მიერ გავლილი გზა მოძრაობის დაწყებიდან 5 წამში.

წერტილოვანი მოძრაობის სიჩქარე ვ =12 ტ -3 ტ 2 (ტგ-ში,ვმ/წმ-ში).იპოვეთ წერტილის მიერ გავლილი გზა მისი მოძრაობის დაწყებიდან გაჩერებამდე.

ორმა სხეულმა ერთდროულად დაიწყო მოძრაობა ერთი წერტილიდან ერთი მიმართულებით სწორი ხაზით. პირველი სხეული მოძრაობს სიჩქარით ვ =6 ტ 2 +2 ტ(ქალბატონი),მეორე
ვ =4 ტ+5 (მ/წმ).რა მანძილზე იქნებიან ისინი ერთმანეთისგან 5 წამის შემდეგ?

დანართი 4

თვითმმართველობის მონიტორინგი თემაზე

"განსაზღვრული ინტეგრალი და მისი გამოყენება"

ქალაქ გომელის განათლების დეპარტამენტი

აღმასრულებელი კომიტეტი

სახელმწიფო საგანმანათლებლო დაწესებულება

"გიმნაზია 71 გომელში"

საკონკურსო სამუშაო

"დიფერენციალური და ინტეგრალური გამოთვლების გამოყენება MATLab-ში ფიზიკური და გეომეტრიული ამოცანების გადასაჭრელად"

შემსრულებელი: ორეხოვა ქსენია ივანოვნა,

9B კლასის მოსწავლე

ხელმძღვანელი: გორსკი სერგეი მიხაილოვიჩი,

IT-პედაგოგი

სახელმწიფო საგანმანათლებლო დაწესებულება

"გიმნაზია 71 გომელში"

შესავალი

1. ინტეგრალური და დიფერენციალური გამოთვლების ისტორია

2. დიფერენციალი ფიზიკაში

3. განსაზღვრული ინტეგრალის გამოყენება მექანიკისა და ფიზიკის ზოგიერთი ამოცანის ამოხსნაში

4. დიფერენციალური განტოლებები

5. მატლაბში ამოცანების ამოხსნის მაგალითები

გამოყენებული წყაროების სია

შესავალი

არჩევითი კურსი „დიფერენციალური და ინტეგრალური გამოთვლების გამოყენება ფიზიკური და გეომეტრიული ამოცანების ამოხსნაში“ მიზნად ისახავს მათემატიკური ანალიზის კურსის შესწავლას მასალის პრაქტიკული გაშუქების საფუძველზე, მათემატიკის ამ განყოფილების მეთოდების გამოყენებაზე გეომეტრიის ამოცანების გადასაჭრელად. და ფიზიკა; ასევე ამ ამოცანების კომპიუტერზე განხორციელება (MATLAB პაკეტის გამოყენებით).

შედეგად, შეგვიძლია ვთქვათ, რომ არჩევითი კურსის თემისა და მიზნის ასეთი მოცულობითი, არასპეციფიკური ფორმულირება შესაძლებელს ხდის მის განხორციელებას სკოლაში. ალგებრისა და ანალიზის სასკოლო კურსში კურსი „დიფერენციალური და ინტეგრალური გამოთვლების გამოყენება ფიზიკური და გეომეტრიული ამოცანების ამოხსნისას“ მიზნად ისახავს განსაზღვრული ინტეგრალის შესწავლას.

თემის ადგილი სასკოლო მათემატიკის კურსში .

არჩევითი კურსი „ინტეგრალური კალკულუსის გამოყენება ფიზიკური და გეომეტრიული ამოცანების ამოხსნაში“ აღრმავებს მეთერთმეტე კლასის ალგებრისა და დაწყებითი ანალიზის კურსის მასალას და ავლენს სასკოლო მათემატიკის კურსში შემავალ თემებზე მასალის პრაქტიკული კონსოლიდაციის შესაძლებლობებს. ეს არის თემები „ფუნქციის წარმოებული“, „განსაზღვრული ინტეგრალი“ ალგებრაში და ზოგიერთი თემა გეომეტრიასა და ფიზიკაში. შედეგად, ეს არჩევითი კურსი ახორციელებს ალგებრისა და მათემატიკური ანალიზის ინტერდისციპლინურ კავშირს გეომეტრიასთან, კომპიუტერულ მეცნიერებასთან და ფიზიკასთან.

სტუდენტების სწორი იდეების ჩამოყალიბებას გეომეტრიასა და ფიზიკაში ძირითადი ელემენტების ალგებრის ასახვის ბუნებისა და მათემატიკური მოდელირების როლის შესახებ სამეცნიერო ცოდნაში ხელს უწყობს მათ კომპიუტერში სხვადასხვა მათემატიკური ამოცანების ამოხსნისა და ვიზუალიზაციის გაცნობას. არჩევითი კურსის პრეზენტაცია ეფუძნება MATLAB-ის მათემატიკური და საინჟინრო გამოთვლების პაკეტის 6.1 ვერსიის ძირითად მახასიათებლებს, რომელიც ახლა გახდა მრავალ უნივერსიტეტში უმაღლესი მათემატიკის, რიცხვითი ანალიზისა და სხვა საგანმანათლებლო კურსების შესწავლის სტანდარტული საშუალება. სტუდენტები ეცნობიან რიცხვითი და სიმბოლური გამოთვლების ძირითად შესაძლებლობებს, პროგრამირებას და შედეგების ვიზუალიზაციას, რომლებიც მოწოდებულია MATLAB სისტემის ბირთვით და მისი გაფართოების პაკეტით SymbolicMathToolbox.

არჩევითი კურსის ძირითადი ცნებები: განსაზღვრული ინტეგრალი, მრუდის სიგრძე, ფართობი, ბრუნვის ზედაპირი, ცილინდრული ზედაპირი, სხეულის მოცულობა და ა.შ.

არჩევითი კურსის მიზნები.

1. საგანმანათლებლო: ჩაატარეთ პრაქტიკული განმტკიცება თემაზე „განსაზღვრული ინტეგრალი“, გააცანით სტუდენტებს მათემატიკური და საინჟინრო გამოთვლების პაკეტი MATLAB 6.1, აჩვენეთ მათემატიკური ანალიზის ინტერდისციპლინური კავშირის განხორციელება გეომეტრიასთან, კომპიუტერულ მეცნიერებასთან და ფიზიკასთან.

2. პედაგოგები:პირობების შექმნა სტუდენტების წარმატებული პროფესიული თვითგამორკვევისთვის კომპიუტერის გამოყენებით რთული ამოცანების გადაჭრის, მსოფლმხედველობისა და რიგი პიროვნული თვისებების აღზრდის გზით მათემატიკის სიღრმისეული შესწავლით.

3. განმავითარებელი:მოსწავლეთა ჰორიზონტის გაფართოება, მათემატიკური აზროვნების განვითარება, საგნის მიმართ აქტიური შემეცნებითი ინტერესის ჩამოყალიბება, სტუდენტების პროფესიული ინტერესების განვითარება, დამოუკიდებელი და კვლევითი უნარ-ჩვევების გამომუშავება, სტუდენტების რეფლექსიის განვითარება.

პროგრამა:

ასტროიდის მშენებლობა

t=-2*pi:pi/20:2*pi;

h=300; ფიგურა ("ერთეულები", "პიქსელები", "პოზიცია",

xlabel ("x"); ylabel ("y");

ღერძი ([-3, 3, -3, 3]);

% ბრუნვის ზედაპირი

t=-2*pi:pi/20:2*pi;

მეშგრიდი(t,v);

კომპლექტი (hფიგურა "ფერი",);

კომპლექტი (hAxes "Color",);

xlabel ("x"); ylabel ("y"); zlabel ("z");

hPlot=ნაკვეთი(X,Y);

ნაკრები (hPlot"LineWidth",5)

ნაკრები (hPlot"ფერი")

დავალება 5. ააგეთ ბერნულის ლემნისკატი პოლარულ კოორდინატებში: .

პროგრამა:

p=0:pi/60:2*pi-სთვის

თუ 2*a^2*cos(2*p)>=0

კომპლექტი (hფიგურა "ფერი",);

hP=პოლარული(phi,r);

კომპლექტი (hP"LineWidth",2);

შედეგი (ნახ. 17):

დავალება 6. MATLAB-ში რიცხვითი და სიმბოლური გამოთვლების გამოყენებით იპოვეთ: ა) განსაზღვრული ინტეგრალი; ბ) ორმაგი ინტეგრალი; გ) ზედაპირის ინტეგრალი (1 სახის).

ა) რიცხვითი ანალიზის კლასიკური ამოცანაა განსაზღვრული ინტეგრალების გამოთვლის პრობლემა. განსაზღვრული ინტეგრალების გამოთვლის ყველა მეთოდს შორის ყველაზე მარტივი, მაგრამ ამავე დროს საკმაოდ წარმატებით გამოყენებული, არის ტრაპეციული მეთოდი. MATLAB უზრუნველყოფს ფუნქციას ამ მეთოდისთვის: trapz(x,y) (ბრძანება edit trapz გაძლევთ საშუალებას აჩვენოთ ამ ფუნქციის ტექსტი). ერთგანზომილებიანი მასივი x (ვექტორი) შეიცავს ინტეგრანტის არგუმენტების დისკრეტულ მნიშვნელობებს. ამ წერტილებში ინტეგრანტის მნიშვნელობები კონცენტრირებულია ერთგანზომილებიან მასივში y. ყველაზე ხშირად, ინტეგრაციისთვის არჩეულია ერთიანი ბადე, ანუ მასივის ელემენტების x მნიშვნელობები ერთმანეთისგან დაშორებულია იმავე რაოდენობით - ინტეგრაციის საფეხური. ინტეგრალის გაანგარიშების სიზუსტე დამოკიდებულია ინტეგრაციის საფეხურის ზომაზე: რაც უფრო მცირეა ეს ნაბიჯი, მით მეტია სიზუსტე.

დავალება 7. გამოთვალეთ ინტეგრალი ტრაპეციული მეთოდის გამოყენებით სხვადასხვა ინტეგრაციის საფეხურებით (ათწილადი წერტილის შემდეგ 14 ათობითი ციფრის დასაკვირვებლად ჯერ უნდა შეიყვანოთ და შეასრულოთ formatlong ბრძანება).

პროგრამა: შედეგი:

functiont=ხაფანგი(dx)

y=sin(x).*exp(-x);

t=trapz(x,y); >> ფორმატი გრძელი

ans = 0.42255394026468

>> ხაფანგი (0.1)

ans = 0.50144886299125

>> ხაფანგი (0.01)

ans = 0.50226667654901

>> ხაფანგი (0.001)

ans = 0.50227485744814

ტრაპეციული მეთოდი ძალიან მრავალმხრივი მეთოდია და კარგად არის შესაფერისი ფუნქციების ინტეგრირებისთვის, რომლებიც არც თუ ისე გლუვია. თუ ინტეგრალური ნიშნის ქვეშ მყოფი ფუნქცია გლუვია (რამდენიმე პირველი წარმოებული არსებობს და უწყვეტია), მაშინ უმჯობესია გამოიყენოთ უფრო მაღალი დონის სიზუსტის ინტეგრაციის მეთოდები. იგივე ინტეგრაციის საფეხურისთვის, უფრო მაღალი სიზუსტის მეთოდები უფრო ზუსტ შედეგებს აღწევს.

MATLAB სისტემაში უფრო მაღალი დონის სიზუსტის ინტეგრაციის მეთოდები ხორციელდება ფუნქციებით quad (სიმპსონის მეთოდი) და quad8 (სიზუსტის მე-8 რიგის ნიუტონ-კოტის მეთოდი). ეს ორივე მეთოდი ასევე არის ადაპტური. ეს უკანასკნელი ნიშნავს, რომ მომხმარებელს არ სჭირდება შედეგის მიღწეული სიზუსტის კონტროლი სხვადასხვა ინტეგრაციის ნაბიჯების შესაბამისი თანმიმდევრული მნიშვნელობების შედარებით. ყველა ეს ფუნქცია დამოუკიდებლად სრულდება.

Quad8 ფუნქციას აქვს უფრო მაღალი რიგის სიზუსტე ოთხ ფუნქციასთან შედარებით, რაც ძალიან კარგია გლუვი ფუნქციებისთვის, რადგან ის უზრუნველყოფს შედეგის უფრო მაღალ სიზუსტეს უფრო დიდი ინტეგრაციის საფეხურით (ნაკლები გამოქვითვები). თუმცა, Quad ფუნქცია შეიძლება იყოს არანაკლებ, ან კიდევ უფრო სწრაფი, ფუნქციებისთვის, რომლებიც არც თუ ისე გლუვია (მეორე ან მესამე წარმოებულები არის წყვეტილი ან დიდი აბსოლუტური მნიშვნელობით). ნებისმიერ შემთხვევაში, ორივე ეს ფუნქცია ნაგულისხმევად იძლევა შედეგის იგივე ფარდობით სიზუსტეს, ტოლია 0.001.

MATLAB-ის მრავალი სხვა ფუნქციის მსგავსად, quad და quad8 ფუნქციებს შეუძლიათ მიიღონ სხვადასხვა რაოდენობის პარამეტრები. ამ ფუნქციების გამოძახების მინიმალური ფორმატი მოიცავს სამ პარამეტრს: ინტეგრანის სახელს, ინტეგრაციის ქვედა ზღვარს და ინტეგრაციის ზედა ზღვარს. თუ მეოთხე პარამეტრი გამოიყენება, მაშინ ეს არის გაანგარიშების შედეგის საჭირო ფარდობითი სიზუსტე. სხვათა შორის, თუ ორივე ეს ადაპტაციური ფუნქცია ვერ უზრუნველყოფს საჭირო სიზუსტეს (განსხვავებული ან მასთან ახლოს ინტეგრალი), მაშინ ისინი აბრუნებენ სიმბოლურ უსასრულობას Inf.

სიმბოლური მეთოდების გამოყენებით განსაზღვრული ინტეგრალების გამოსათვლელად, შეგიძლიათ გამოიყენოთ ამოხსნის ორი ვარიანტი: პირდაპირ ან ეტაპობრივად (სიმბოლური რიცხვების ჩანაცვლებით).

დავალება 8. განსაზღვრული ინტეგრალის გამოთვლა.

პროგრამა: შედეგი:

a1=sym("0"); b1=sym("2");

% მეთოდი 1: სიმბოლური რიცხვის ჩანაცვლებით მუშაობა

სიმბოლო=int(w,"t",a,b)

symbol2a=subs(სიმბოლო,,)

ნომერი = vpa (symbol2a)

% მეთოდი 2: სიმბოლურ რიცხვებთან მუშაობა

simbol2b=int(w,"t",a1,b1) სიმბოლო =

2.6666666666666666667

ამოცანა 9. გამოთვალეთ ასტროიდის ღერძის გარშემო ბრუნვით მიღებული ზედაპირის ფართობი ოქსი : . (ზედაპირი ვიზუალიზებულია დავალება 2-ში) .

პროგრამა: შედეგი:

t1=sym("0"); t2=sym("pi/2"); a=sym("1");

x=a*cos(t)^3; y=a*sin(t)^3;

f=y.*sqrt(diff(x)^2+diff(y)^2);

სიმბოლო=გამარტივება(int(4*pi*f,"t",t1,t2))

ნომერი = vpa (სიმბოლო) სიმბოლო =

ბ) ორმაგი ინტეგრალები მცირდება განმეორებითი განსაზღვრული ინტეგრალების გამოთვლამდე, რომელთაგან ერთი შიდაა, მეორე კი გარეგანი. შიდა ინტეგრალი გარეგანი ინტეგრალის ინტეგრალია. რიცხვითი გამოთვლებისთვის, შესაძლებელი იქნება გამოთვლების ჯაჭვის დაწერა, რომელშიც ინტეგრადის განმეორებითი გამოთვლები დაიყვანება კვად ფუნქციის განმეორებით გამოძახებამდე. ამასთან, არ არის საჭირო ამის გაკეთება საკუთარ თავს, რადგან MATLAB-ს აქვს სპეციალური ფუნქცია, dblquad.

ამოცანა 8. გამოთვალეთ ინტეგრალი , სად .

პროგრამა:

შედეგი:

ფუნქცია z=fof(x,y)

z=x.*sin(y)+y.*sin(x); >> ფორმატი გრძელი

>> dblquad("fof",0,1,1,2)

1.16777110966887

ამოცანა 9. სიმბოლური გამოთვლების გამოყენებით მიიღეთ შემდეგი ინტეგრალები , , , , , სად .

პროგრამა:

z=sym("x*sin(y)+y*sin(x)");

i2=int(z,"x",0,1)

i3=int(int(z,x"),"y")

i4=int(int(z,x",1,2),"y",0,1)

i5=int(int(x+y,"y",x,1),"x",0,1) i1 =

1/2*x^2*sin(y)-y*cos(x)

1/2*sin(y)-y*cos(1)+y

1/2*x^2*cos(y)-1/2*y^2*cos(x)

1/2*cos(2)-cos(1)+3/2

იმის გამო, რომ სიმბოლური გამოთვლები არ იწვევს შეცდომებს გამოთვლის მეთოდში და თავისთავად უფრო ზუსტია, ხედავთ, რომ dblquad ფუნქცია იძლევა ზუსტ შედეგს მე-7 ათწილადამდე.

გ) უმაღლესი მათემატიკიდან ცნობილია, რომ მრავალი სხვა ტიპის ინტეგრალი, მაგალითად, 1-ლი სახის ზედაპირული ინტეგრალი, შეიძლება შემცირდეს განსაზღვრულ და ორმაგ ინტეგრალებამდე. ვინაიდან მის საპოვნელად გამოიყენება დიფერენციაცია ინტეგრალური ნიშნის ქვეშ, არასწორია რიცხვითი გამოთვლების გამოყენება.

ამოცანა 10. გამოთვალეთ 1-ლი სახის ზედაპირული ინტეგრალი: , სადაც ს- თვითმფრინავის ნაწილი, რომელიც მდებარეობს პირველ ოქტანტში (თეორემა 2-ის მიხედვით).

პროგრამა: შედეგი:

fun=subs(f2,z,f1)

d=1+diff(f1,x)^2+diff(f1,y)^2

syms x1 x2 y1 y2

intpov1=int(int(fun*sqrt(d),"y",y1,y2),"x",x1,x2)

ნომერი=vpa(intpov1) გართობა =

ამოცანა 11. გამოთვალეთ 1-ლი სახის ზედაპირული ინტეგრალი , სად ს- სფერო (თეორემა 3-ით).

პირველი, მოდით შევქმნათ ფუნქცია, რომელიც აღწერს ზედაპირს, რომელზეც ხდება ინტეგრაცია:

ფუნქცია =pov;

syms x y z u v a

x=a*sin(u)*cos(v);

y=a*sin(u)*sin(v);

პროგრამა:

syms x y z u v a

f=sym("x^2+y^2");

E=diff(x0"u")^2+diff(y0"u")^2+diff(z0"u")^2;

G=diff(x0"v")^2+diff(y0"v")^2+diff(z0"v")^2;

F=diff(x0"u")*diff(x0"v")+diff(y0"u")*

diff(y0"v")+diff(z0"u")*diff(z0"v");

W=sqrt(E*G-F^2); f2=W*subs(f,,);

syms u1 u2 v1 v2

intpov=p*int(int(f2,"v",v1,v2),"u",u1,u2)

intpov2=გამარტივება(intpov)

ნომერი = vpa (intpov2)

int=subs(intpov2,a,b) intpov =

4/3*a^2*pi*(a^4)^(1/2)*4^(1/2)

8/3*a^4*pi*csgn(a^2)

8.377580412*a^4*csgn(a^2)

Შენიშვნა. csgn ფუნქცია არის MATLAB სპეციფიკური. მისი შეყვანა შეუძლებელია მომხმარებლის მიერ და ხდება მხოლოდ გამარტივების ფუნქციით მუშაობისას (სიმბოლური გამონათქვამების გამარტივება). Მაგალითად:

>>syms a t

>> t=csgn(a^2)*a^2

განუსაზღვრელი ფუნქცია ან ცვლადი "csgn".

>> გამარტივება((a^4)^(1/2))

>> გამარტივება((a^8)^(1/4))

>> გამარტივება((a^9)^(1/3))

1. ანუფრიევი, ი.ე. სახელმძღვანელო MatLab 5.3/6.x / I.E. ანუფრევი. - სანკტ-პეტერბურგი: BHV-Petersburg, 2002. - 736გვ.

2. ბერმანი, გ.ნ. ამოცანების კრებული მათემატიკური ანალიზის კურსისთვის / გ.ნ. ბერმანი, ი.გ. არამანოვიჩი, ა.ფ. ბერმანტი და სხვები - მ.: ნაუკა, 1966. - 456გვ.

3. ბერმანტი, ა.ფ. მათემატიკური ანალიზის მოკლე კურსი კოლეჯის სტუდენტებისთვის / A.F. ბერმანტი, ი.გ. არამანოვიჩი. - მ.: ნაუკა, 1966. - 736გვ.

4. გულტიაევი, ა. ვიზუალური მოდელირება MatLab-ის გარემოში / A. Gultyaev. - პეტერბურგი: პეტრე, 2001. - 553გვ.

5. დემიდოვიჩი, ბ.პ. პრობლემები და სავარჯიშოები მათემატიკური ანალიზის კოლეჯებისთვის / B.P. დემიდოვიჩი, გ.ს. ბარანენკოვი, ვ.ა. ეფიმენკო და სხვები - მ.: ნაუკა, 1966. - 472 გვ.

6. ლაზარევი, იუ.ფ. MatLab 5.x / Yu.F. ლაზარევი. - კიევი: BHV, 2000. - 388 გვ.

7. მარტინოვი, ნ.ნ. Matlab 5.x: გამოთვლები, ვიზუალიზაცია, პროგრამირება / N.N. მარტინოვი, ა.პ. ივანოვი. - M.: KUDITS-OBRAZ, 2000. - 336გვ.

8. კურინნოი, გ.ჩ. მათემატიკა: სახელმძღვანელო / გ.ჩ. ქათამი. - ხარკოვი: ფოლიო; როსტოვ-დონზე: ფენიქსი, 1997. - 463 გვ.

9. პისკუნოვი, ნ.ს. დიფერენციალური და ინტეგრალური გაანგარიშება კოლეჯის სტუდენტებისთვის 2 ტომში / N.S. პისკუნოვი. - მ.: ნაუკა, 1966. - 2 ტომი - 312გვ.

10. ფიხტენგოლცი, გ.მ. დიფერენციალური და ინტეგრალური გამოთვლების კურსი 3 ტომში / გ.მ. ფიხტენჰოლცი. - მ.: ფიზიკურ-მათემატიკური ლიტერატურის სახელმწიფო გამომცემლობა, 1959. - ტ.1-3.

11. ვებგვერდები http://www/informika.ru, htt://www.softline.ru, http://matlab.ru.

გაკვეთილის დევიზი: ”მათემატიკა არის ენა, რომელზეც ყველა ზუსტი მეცნიერება საუბრობს” N.I. ლობაჩევსკი

გაკვეთილის მიზანი: მოსწავლეთა ცოდნის შეჯამება თემაზე „ინტეგრალი“, „ინტეგრალის გამოყენება“; გააფართოვოს მათი ჰორიზონტი, ცოდნა ინტეგრალის შესაძლო გამოყენების შესახებ სხვადასხვა სიდიდის გამოთვლაში; ინტეგრალების გამოყენების უნარების კონსოლიდაცია გამოყენებული ამოცანების გადასაჭრელად; მათემატიკის მიმართ შემეცნებითი ინტერესის გაღვივება, კომუნიკაციის კულტურისა და მათემატიკური მეტყველების კულტურის განვითარება; შეძლოს მოსწავლეებისა და მასწავლებლების წინაშე ლაპარაკის სწავლა.

გაკვეთილის ტიპი: გამეორება-შემაჯამებელი.

გაკვეთილის ტიპი: გაკვეთილი – პროექტის დაცვა „ინტეგრალის გამოყენება“.

აღჭურვილობა: მაგნიტური დაფა, "ინტეგრალის აპლიკაცია" პლაკატები, ბარათები ფორმულებით და ამოცანები დამოუკიდებელი სამუშაოსთვის.

Გაკვეთილის გეგმა:

1. პროექტის დაცვა:

1. ინტეგრალური კალკულუსის ისტორიიდან;
2. ინტეგრალის თვისებები;
3. ინტეგრალის გამოყენება მათემატიკაში;
4. ინტეგრალის გამოყენება ფიზიკაში;

2. სავარჯიშოების ამოხსნა.

გაკვეთილების დროს

მასწავლებელი: მძლავრი კვლევის ინსტრუმენტი მათემატიკაში, ფიზიკაში, მექანიკაში და სხვა დისციპლინებში არის განსაზღვრული ინტეგრალი - მათემატიკური ანალიზის ერთ-ერთი ძირითადი ცნება. ინტეგრალის გეომეტრიული მნიშვნელობა არის მრუდი ტრაპეციის ფართობი. ინტეგრალის ფიზიკური მნიშვნელობა არის 1) სიმკვრივის მქონე არაერთგვაროვანი ღეროს მასა, 2) დროის გარკვეული მონაკვეთის განმავლობაში სიჩქარით სწორ ხაზზე მოძრავი წერტილის გადაადგილება.

მასწავლებელი: ჩვენი კლასის ბიჭებმა ბევრი სამუშაო გააკეთეს; მათ შეარჩიეს პრობლემები, სადაც გამოყენებულია განსაზღვრული ინტეგრალი. მათ აქვთ იატაკი.

მოსწავლე 2: ინტეგრალის თვისებები

მოსწავლე 3: ინტეგრალის გამოყენება (ცხრილი მაგნიტურ დაფაზე).

მოსწავლე 4: ჩვენ განვიხილავთ ინტეგრალების გამოყენებას მათემატიკაში ფიგურების ფართობის გამოსათვლელად.

ნებისმიერი სიბრტყის ფიგურის ფართობი, განხილული მართკუთხა კოორდინატულ სისტემაში, შეიძლება შედგებოდეს ღერძის მიმდებარე მრუდი ტრაპეციის არეებისგან. ოჰდა ღერძები OU.მრუდი ტრაპეციის ფართობი, რომელიც შემოსაზღვრულია მრუდით y = f(x),ღერძი ოჰდა ორი სწორი ხაზი x=aდა x=b,სად a x b, f(x) 0გამოითვლება ფორმულით სმ. ბრინჯი.თუ მოხრილი ტრაპეცია არის ღერძის მიმდებარედ OU, მაშინ მისი ფართობი გამოითვლება ფორმულით , სმ. ბრინჯი.ფიგურების ფართობების გამოთვლისას შეიძლება წარმოიშვას შემდეგი შემთხვევები: ა) ფიგურა მდებარეობს Ox ღერძის ზემოთ და შემოიფარგლება Ox ღერძით, მრუდით y = f (x) და ორი სწორი ხაზით x = a და x = b. (იხ. ბრინჯი.) ამ ფიგურის ფართობი გვხვდება ფორმულით 1 ან 2. ბ) ფიგურა მდებარეობს Ox ღერძის ქვეშ და შემოიფარგლება Ox ღერძით, მრუდით y=f(x) და ორი სწორი ხაზით x=a და x=b (იხ. ბრინჯი.). ფართობი გვხვდება ფორმულით . გ) ფიგურა მდებარეობს Ox ღერძის ზემოთ და ქვემოთ და შემოიფარგლება Ox ღერძით, მრუდით y=f(x) და ორი სწორი ხაზით x=a და x=b( ბრინჯი.). დ) ფართობი შემოიფარგლება ორი გადამკვეთი მრუდით y = f (x) და y = (x) ( ბრინჯი.)

5 მოსწავლე: მოვაგვაროთ პრობლემა

x-2y+4=0 და x+y-5+0 და y=0

სტუდენტი 7: ინტეგრალი, რომელიც ფართოდ გამოიყენება ფიზიკაში. სიტყვა ფიზიკოსებს.

1. პუნქტით გავლილი გზის გაანგარიშება

წერტილის მიერ გავლილი გზა სწორი ხაზით ცვლადი სიჩქარით უსწორმასწორო მოძრაობის დროს დროის განმავლობაში დან-მდე გამოითვლება ფორმულით.

მაგალითები:

1. წერტილის მოძრაობის სიჩქარე ქალბატონი. იპოვეთ წერტილის მიერ გავლილი გზა 4 წამში.

გამოსავალი: მდგომარეობის მიხედვით, . აქედან გამომდინარე,

2. ორმა სხეულმა ერთდროულად დაიწყო მოძრაობა ერთი წერტილიდან ერთი მიმართულებით სწორი ხაზით. პირველი სხეული მოძრაობს სიჩქარით მ/წმ, მეორე - სიჩქარით v = (4ტ+5)ქალბატონი. რა მანძილზე იქნება ისინი ერთმანეთისგან 5 წამის შემდეგ?

ამოხსნა: აშკარაა, რომ სასურველი მნიშვნელობა არის პირველი და მეორე სხეულების მიერ 5 წამში გავლილი მანძილების განსხვავება:

3. სხეული დედამიწის ზედაპირიდან ვერტიკალურად ზევით არის გადაყრილი u = (39,2-9,8^) მ/წმ სიჩქარით. იპოვეთ სხეულის ამწევის მაქსიმალური სიმაღლე.

ამოხსნა: სხეული მიაღწევს აწევის მაქსიმალურ სიმაღლეს t დროს, როდესაც v = 0, ე.ი. 39.2- 9.8t = 0, საიდანაც მე= 4 წმ. ფორმულის (1) გამოყენებით ვპოულობთ

2. ძალის მუშაობის გაანგარიშება

ცვლადი ძალით f(x) შესრულებული სამუშაო ღერძის გასწვრივ მოძრაობისას ოჰმატერიალური წერტილი x =-დან აადრე x=b,ნაპოვნია ფორმულით ძალის მუშაობის გაანგარიშების პრობლემების გადაჭრისას ხშირად გამოიყენება ჰაკის კანონი: F=kx, (3)სადაც F - ძალა N; X- ზამბარის აბსოლუტური დრეკადობა, m, გამოწვეული ძალით ფ, ა კ- პროპორციულობის კოეფიციენტი, ნ/მ.

მაგალითი:

1. მოსვენებულ ზამბარას აქვს სიგრძე 0,2 მ, 50 ნ ძალა აჭიმავს ზამბარს 0,01 მ-ით, რამდენი სამუშაო უნდა გაკეთდეს მის გასაჭიმად 0,22-დან 0,32 მ-მდე?

ამოხსნა: ტოლობის გამოყენებით (3) გვაქვს 50 = 0.01k, ანუ kK = 5000 N/m. ჩვენ ვპოულობთ ინტეგრაციის საზღვრებს: a = 0.22 - 0.2 = 0.02 (მ), b=0.32- 0.2 = 0.12 (მ). ახლა, ფორმულის გამოყენებით (2), მივიღებთ

3. ტვირთის აწევისას შესრულებული სამუშაოს გამოთვლა

დავალება. ცილინდრული ავზი, რომლის ბაზის რადიუსია 0,5 მ და სიმაღლე 2 მ, ივსება წყლით. გამოთვალეთ სამუშაო, რომელიც საჭიროა ავზიდან წყლის ამოტუმბვისთვის.

გამოსავალი: აირჩიეთ სიმაღლის ჰორიზონტალური ფენა dх სიღრმეზე x ( ბრინჯი.). სამუშაო A, რომელიც უნდა შესრულდეს P მასის წყლის ფენის x სიმაღლეზე ასამაღლებლად, უდრის Px-ს.

x სიღრმის ცვლილება მცირე რაოდენობით dx გამოიწვევს V მოცულობის ცვლილებას dV = ოდენობით pr 2 dx და P წონის ცვლილება * dP = 9807 r 2 dx; ამ შემთხვევაში, შესრულებული სამუშაო A შეიცვლება მნიშვნელობით dA = 9807пr 2 xdx. ამ ტოლობის ინტეგრირება, როგორც x იცვლება 0-დან H-მდე, მივიღებთ

4. სითხის წნევის ძალის გაანგარიშება

სიძლიერის ღირებულება რსითხის წნევა ჰორიზონტალურ პლატფორმაზე დამოკიდებულია ჩაძირვის სიღრმეზე Xამ უბნის, ანუ სითხის ზედაპირამდე ფართობის დაშორებიდან.

წნევის ძალა (N) ჰორიზონტალურ პლატფორმაზე გამოითვლება ფორმულით P = 9807Sx,

სად - სითხის სიმკვრივე, კგ/მ3; S - საიტის ფართობი, m2; X -პლატფორმის ჩაძირვის სიღრმე, მ.

თუ პლატფორმა, რომელიც განიცდის სითხის წნევას, არ არის ჰორიზონტალური, მაშინ მასზე წნევა განსხვავებულია სხვადასხვა სიღრმეზე, შესაბამისად, პლატფორმაზე ზეწოლის ძალა მისი ჩაძირვის სიღრმის ფუნქციაა. P(x).

5. რკალის სიგრძე

დაე, თვითმფრინავი მრუდი იყოს AB(ბრინჯი.)მოცემული განტოლებით y =f(x) (აxბ),და f(x)და ვ?(x)- უწყვეტი ფუნქციები [a,b] ინტერვალში. შემდეგ დიფერენციალი დლრკალის სიგრძე ABგამოხატული ფორმულით ან , და რკალის სიგრძე ABგამოითვლება ფორმულით (4)

სადაც a და b არის დამოუკიდებელი ცვლადის მნიშვნელობები X A და B წერტილებზე თუ მრუდი მოცემულია განტოლებით x =(y) (y-თან ერთად)დ),მაშინ AB რკალის სიგრძე გამოითვლება ფორმულით (5) სად თანდა დდამოუკიდებელი ცვლადი მნიშვნელობები ზეწერტილებში ადა ვ.

6. მასის ცენტრი

მასის ცენტრის პოვნისას გამოიყენეთ შემდეგი წესები:

1) x კოორდინატი ? მატერიალური წერტილების სისტემის მასის ცენტრი A 1, A 2,..., A n მასებით m 1, m 2, ..., m n, რომელიც მდებარეობს სწორ ხაზზე x 1, x 2 კოორდინატების მქონე წერტილებში, ..., x n , გვხვდება ფორმულით

(*); 2) მასის ცენტრის კოორდინატების გამოთვლისას შეგიძლიათ ფიგურის ნებისმიერი ნაწილი შეცვალოთ მატერიალური წერტილით, მოათავსოთ იგი ამ ნაწილის მასის ცენტრში და მას მიანიჭოთ მასა ნაწილის მასის ტოლი. განსახილველი ფიგურა. მაგალითი. მოდით, სიმკვრივის მასა (x) განაწილდეს Ox ღერძის ღერო-სეგმენტის გასწვრივ, სადაც (x) არის უწყვეტი ფუნქცია. ეს ვაჩვენოთ ა) ღეროს ჯამური მასა M უდრის; ბ) x მასის ცენტრის კოორდინატი " ტოლია .

გავყოთ სეგმენტი [a; b] n ტოლ ნაწილად a= x 0 წერტილებით< х 1 < х 2 < ... <х n = b (ბრინჯი.). ამ სეგმენტებიდან თითოეულ n-ზე სიმკვრივე შეიძლება ჩაითვალოს მუდმივი დიდი n-სთვის და დაახლოებით ტოლი (x k - 1) k-ე სეგმენტზე ((x-ის უწყვეტობის გამო). შემდეგ k-ის მასა. სეგმენტი დაახლოებით უდრის და მთელი ღეროს მასა უდრის

n მცირე სეგმენტიდან თითოეულს განვიხილავთ, როგორც m k წერტილში მოთავსებულ მატერიალურ წერტილს, ფორმულიდან (*) ვიღებთ, რომ მასის ცენტრის კოორდინატი დაახლოებით შემდეგნაირად არის ნაპოვნი.

ახლა ის რჩება აღვნიშნოთ, რომ როგორც n -> მრიცხველი მიისწრაფვის ინტეგრალისკენ, ხოლო მნიშვნელი (მთელი ღეროს მასის გამომხატველი) ინტეგრალისკენ.

სიბრტყეზე ან სივრცეში მატერიალური წერტილების სისტემის მასის ცენტრის კოორდინატების საპოვნელად ვიყენებთ ფორმულას (*)

მასწავლებელი: მაგიდებზე გაქვთ ცხრილი და პრობლემები ცხრილის გამოყენებით იპოვეთ: ა) ელექტროენერგიის რაოდენობა; ბ) ღეროს მასა მისი სიმკვრივის მიხედვით.

რაოდენობები

წარმოებული გამოთვლა

ინტეგრალის გამოთვლა ვარიანტი 1 ვარიანტი 2 გაკვეთილის შეჯამება: ჩვენ დავასრულეთ თემა „ინტეგრალი“, ვისწავლეთ ანტიდერივატივების, ინტეგრალების, ფიგურების არეების გამოთვლა, განვიხილეთ ინტეგრალის გამოყენება პრაქტიკაში, ეს პრობლემები შეიძლება გამოჩნდეს ერთიან სახელმწიფო გამოცდაზე, ვფიქრობ, თქვენ შეგიძლიათ გაუმკლავდეთ მათ.

ინტეგრალური კალკულუსი არის მათემატიკური ანალიზის ფილიალი, რომელიც სწავლობს ინტეგრალებს, მათ თვისებებს, გამოთვლის მეთოდებს და გამოყენებას. დიფერენციალურ გამოთვლებთან ერთად ის ქმნის მათემატიკური ანალიზის აპარატის საფუძველს.

ზოგიერთი მათემატიკური სიმბოლოს წარმოშობის თარიღები

ინტეგრალური გაანგარიშება წარმოიშვა ბუნებისმეტყველებისა და მათემატიკის დიდი რაოდენობის ამოცანების განხილვის შედეგად. მათგან ყველაზე მნიშვნელოვანი არის მოცემულ დროს გავლილი გზის განსაზღვრის ფიზიკური პრობლემა მოძრაობის ცნობილი, მაგრამ შესაძლოა ცვლადი სიჩქარის გამოყენებით და გეომეტრიული ფიგურების ფართობებისა და მოცულობების გამოთვლის ბევრად უფრო ძველი პრობლემა (იხ. გეომეტრიული ექსტრემალური ამოცანები). .

ინტეგრალური გამოთვლებისთვის ცენტრალური ადგილი უკავია ინტეგრალის ცნებას, რომელსაც, თუმცა, აქვს ორი განსხვავებული ინტერპრეტაცია, რაც შესაბამისად იწვევს განუსაზღვრელი და განსაზღვრული ინტეგრალების ცნებებს.

დიფერენციალურ გამოთვლებში დაინერგა ფუნქციების დიფერენციაციის ოპერაცია. მათემატიკურ ოპერაციას, რომელიც განიხილება ინტეგრალურ გამოთვლებში, დიფერენციაციის ინვერსიაში, ეწოდება ინტეგრაცია ან, უფრო ზუსტად, განუსაზღვრელი ინტეგრაცია.

რისგან შედგება ეს შებრუნებული ოპერაცია და რა არის მისი გაურკვევლობა?

დიფერენციაციის ოპერაცია აკავშირებს მოცემულ ფუნქციას მის წარმოებულთან. დავუშვათ, რომ გვინდა მოცემული ფუნქციის საფუძველზე ვიპოვოთ ფუნქცია, რომლის წარმოებული არის ფუნქცია, ე.ი. ასეთ ფუნქციას ანტიდერივატიული ფუნქცია ეწოდება.

ეს ნიშნავს, რომ დიფერენციაციის ინვერსიული ოპერაცია - განუსაზღვრელი ინტეგრაცია - შედგება მოცემული ფუნქციის ანტიდერივატივის პოვნაში.

გაითვალისწინეთ, რომ ფუნქციასთან ერთად, ფუნქციის ანტიდერივატი, ცხადია, ასევე იქნება ნებისმიერი ფუნქცია , რომელიც განსხვავდება მუდმივი ტერმინისგან: ბოლოს და ბოლოს .

ამრიგად, დიფერენციაციისგან განსხვავებით, რომელიც ადარებს ფუნქციას ერთ სხვა ფუნქციასთან - პირველი, განუსაზღვრელი ინტეგრაციის წარმოებული არ იწვევს ერთ კონკრეტულ ფუნქციას, არამედ ფუნქციების მთელ კომპლექტს და ეს არის მისი გაურკვევლობა.

თუმცა, ამ გაურკვევლობის ხარისხი არც ისე დიდია. შეგახსენებთ, რომ თუ გარკვეული ფუნქციის წარმოებული ნულის ტოლია რაიმე ინტერვალის ყველა წერტილში, მაშინ ეს არის ფუნქცია, რომელიც მუდმივია განხილულ ინტერვალზე (ინტერვალებზე, სადაც ცვლადის ცვლილების სიჩქარე ყველგან ნულის ტოლია, არ იცვლება). ეს ნიშნავს, რომ თუ რომელიმე ინტერვალზე , მაშინ ფუნქცია მუდმივია ამ ინტერვალზე, რადგან მისი წარმოებული ნულის ტოლია ინტერვალის ყველა წერტილში.

ამრიგად, ერთი და იგივე ფუნქციის ორი ანტიდერივატი შეიძლება განსხვავდებოდეს ინტერვალზე მხოლოდ მუდმივი ვადით.

ანტიდერივატიული ფუნქციები აღინიშნება სიმბოლოთი

სადაც ნიშანი წერია: ინტეგრალი. ეს არის განუსაზღვრელი ინტეგრალი ე.წ. იმის მიხედვით, რაც დადასტურდა, განუსაზღვრელი ინტეგრალი განსახილველ ინტერვალზე წარმოადგენს არა ერთ კონკრეტულ ფუნქციას, არამედ ფორმის ნებისმიერ ფუნქციას.

, (1)

სადაც არის ფუნქციის ანტიდერივატი მოცემულ ინტერვალზე და არის თვითნებური მუდმივი.

მაგალითად, მთელ რიცხვთა ხაზზე

; ; .

აქ ჩვენ კონკრეტულად ავღნიშნეთ ინტეგრატების არგუმენტები სხვადასხვა სიმბოლოებით: ყურადღების მიქცევა ანტიდერივატივის დამოუკიდებლობაზე, როგორც ფუნქციის არგუმენტის აღსანიშნავად გამოყენებული ასოს არჩევისგან.

წერილობითი ტოლობების დამოწმება ხორციელდება მათი მარჯვენა გვერდების მარტივი დიფერენცირებით, რის შედეგადაც მიიღება ინტეგრალური ნიშნის ქვეშ მარცხენა მხარეს განლაგებული ფუნქციები, შესაბამისად.

ასევე სასარგებლოა გვახსოვდეს შემდეგი აშკარა მიმართებები, რომლებიც პირდაპირ გამომდინარეობს ანტიწარმოებულის, წარმოებულის, დიფერენციალური განმარტებებიდან და (1) განუსაზღვრელი ინტეგრალისთვის:

, , , .

ანტიწარმოებულის პოვნას ხშირად ხელს უწყობს განუსაზღვრელი ინტეგრალის ზოგიერთი ზოგადი თვისება:

(მუდმივი მამრავლის მიმატება);

(ჯამური ინტეგრაცია); თუ

,

(ცვლადი ჩანაცვლება).

ეს ურთიერთობები ასევე მოწმდება უშუალოდ შესაბამისი დიფერენციაციის წესების გამოყენებით.

მოდით ვიპოვოთ სიცარიელეში თავისუფლად ჩამოვარდნილი სხეულის მოძრაობის კანონი, ეფუძნება ერთადერთ ფაქტს, რომ ჰაერის არარსებობის შემთხვევაში, დედამიწის ზედაპირთან თავისუფალი ვარდნის აჩქარება მუდმივია და არ არის დამოკიდებული დაცემის სხეულის მახასიათებლებზე. ვერტიკალური კოორდინატთა ღერძის დაფიქსირება; ჩვენ ვირჩევთ მიმართულებას ღერძზე დედამიწისკენ. მოდით იყოს ჩვენი სხეულის კოორდინატი ამ მომენტში. ჩვენ ვიცით, მაშასადამე, რომ და არის მუდმივი. საჭიროა ფუნქციის – მოძრაობის კანონის პოვნა.

მას შემდეგ, რაც , სადაც , მაშინ, თანმიმდევრულად ინტეგრირება, ვპოულობთ

ასე რომ, ჩვენ აღმოვაჩინეთ

, (3)

სად და არის გარკვეული მუდმივები. მაგრამ დაცემული სხეული მაინც ემორჩილება მოძრაობის ერთ კონკრეტულ კანონს, რომელშიც უკვე აღარ არის თვითნებობა. ეს ნიშნავს, რომ არის სხვა პირობები, რომლებიც ჯერ არ გამოგვიყენებია; ისინი საშუალებას აძლევს ყველა „კონკურენტულ“ კანონს შორის (3), აირჩიონ ის, რომელიც შეესაბამება კონკრეტულ მოძრაობას. ამ პირობების მითითება ადვილია, თუ გესმით მუდმივების ფიზიკური მნიშვნელობა და. თუ შევადარებთ მიმართების უკიდურეს ტერმინებს (2)-სთვის, გამოდის, რომ და (3)-დან გამოდის, რომ . ამრიგად, მათემატიკა თავად გვახსენებდა მოძრაობის სასურველ კანონს

მთლიანად დადგინდება, თუ მიუთითებთ სხეულის საწყის პოზიციას და საწყის სიჩქარეს. კერძოდ, თუ და, მივიღებთ.

ახლავე აღვნიშნოთ, რომ წარმოებულის პოვნის (დიფერენციაციის) ოპერაციასა და ანტიწარმოებულის პოვნის (განუსაზღვრელი ინტეგრაცია) ოპერაციას შორის, ზემოაღნიშნულის გარდა, არსებობს მთელი რიგი ფუნდამენტური განსხვავებები. კერძოდ, გასათვალისწინებელია, რომ თუ ელემენტარული ფუნქციების რომელიმე კომბინაციის წარმოებული თავად გამოიხატება ელემენტარული ფუნქციების მიხედვით, ე.ი. ელემენტარული ფუნქციაა, მაშინ ელემენტარული ფუნქციის ანტიდერივატი აღარ არის ყოველთვის ელემენტარული ფუნქცია. მაგალითად, ანტიდერივატი

ელემენტარული ფუნქცია (ე.წ. ინტეგრალური სინუსი და აღინიშნება სპეციალური სიმბოლოთი), როგორც შეიძლება დავამტკიცოთ, ელემენტარულ ფუნქციებში არ არის გამოხატული. ამრიგად, მოცემული ფუნქციის ანტიწარმოებულის არსებობის ფუნდამენტური მათემატიკური საკითხი არ უნდა აგვერიოს ელემენტარულ ფუნქციებს შორის ამ ანტიწარმოებულის პოვნის არა ყოველთვის ამოხსნად პრობლემასთან. ინტეგრაცია ხშირად არის მნიშვნელოვანი და ფართოდ გამოყენებული სპეციალური ფუნქციების დანერგვის წყარო, რომლებიც შესწავლილია არა უარესი, ვიდრე ისეთი „სკოლის“ ფუნქციები, როგორიცაა ან, თუმცა ისინი არ შედის ელემენტარული ფუნქციების ჩამონათვალში.

და ბოლოს, ჩვენ აღვნიშნავთ, რომ ანტიწარმოებულის პოვნა, თუნდაც ელემენტარული ფუნქციებით გამოხატული, უფრო ხელოვნებას ჰგავს, ვიდრე კანონიკურ გამოთვლით ალგორითმს, როგორიცაა დიფერენციაციის ალგორითმი. ამ მიზეზით, ყველაზე ხშირად წარმოქმნილი ფუნქციების ნაპოვნი ანტიდერივატივები გროვდება განუსაზღვრელი ინტეგრალების საძიებო ცხრილების სახით. ამ ტიპის შემდეგი მიკროცხრილი აშკარად ექვივალენტურია შესაბამისი ძირითადი ელემენტარული ფუნქციების წარმოებულების მიკროცხრილს:

სანამ ჩვენ ვსაუბრობდით დიფერენციაციის მოქმედების შებრუნებაზე, ამ მხრივ მივედით ანტიწარმოებული და განუსაზღვრელი ინტეგრალის ცნებებთან და მივეცით ამ ცნებების საწყისი განმარტება.

ახლა ჩვენ აღვნიშნავთ ინტეგრალისადმი განსხვავებულ, ბევრად უფრო ძველ მიდგომას, რომელიც ემსახურებოდა ინტეგრალური კალკულუსის მთავარ საწყის წყაროს და განაპირობებდა განსაზღვრული ინტეგრალის ან ინტეგრალის კონცეფციას ამ სიტყვის სწორი გაგებით. ეს მიდგომა აშკარად ჩანს უკვე ძველ ბერძენ მათემატიკოსსა და ასტრონომ ევდოქსის კნიდუსელში (დაახლოებით ძვ. წ. 408-355) და არქიმედესში, ე.ი. იგი წარმოიშვა დიფერენციალური გამოთვლებისა და დიფერენციაციის მოქმედებამდე დიდი ხნით ადრე.

კითხვა, რომელიც განიხილეს ევდოქსემ და არქიმედესმა, შექმნეს მისი ამოწურვის მეთოდი, რომელიც ითვალისწინებდა ინტეგრალის კონცეფციას, არის მრუდი ფიგურის ფართობის გამოთვლის საკითხი. ქვემოთ განვიხილავთ ამ კითხვას, მაგრამ ჯერ-ჯერობით, ი. ნიუტონის შემდეგ დავსვათ შემდეგი ამოცანა: დროის ნებისმიერ მომენტში ცნობილი სხეულის სიჩქარის გამოყენებით, იპოვნეთ სხეულის მოძრაობა ამ პერიოდში. დროის.

მოძრაობის კანონი რომ ყოფილიყო ცნობილი, ე.ი. სხეულის კოორდინატების დროზე დამოკიდებულება, მაშინ პასუხი აშკარად გამოიხატებოდა სხვაობით. უფრო მეტიც, თუ ვიცოდით ფუნქციის რაიმე ანტიდერივატივი ინტერვალზე, მაშინ, რადგან, სადაც არის მუდმივი, შესაძლებელი იქნებოდა სასურველი გადაადგილების მნიშვნელობის პოვნა სხვაობის სახით, რომელიც ემთხვევა განსხვავებას. ეს ძალიან სასარგებლო დაკვირვებაა, მაგრამ თუ შეუძლებელია მოცემული ფუნქციის ანტიდერივატივის მითითება, მაშინ სულ სხვაგვარად უნდა ვიმოქმედოთ.

ჩვენ ვიმსჯელებთ შემდეგნაირად.

თუ ინტერვალი დაყოფილია ცალკეული მომენტებით, ისე, რომ ძალიან მცირე დროის ინტერვალებად, მაშინ თითოეულ ამ მოკლე ინტერვალში სხეულის სიჩქარე არ აქვს დრო შესამჩნევად შეიცვალოს. მომენტის თვითნებურად დაფიქსირების შემდეგ, ჩვენ შეგვიძლია დაახლოებით ვივარაუდოთ, რომ გარკვეული პერიოდის განმავლობაში მოძრაობა ხდება მუდმივი სიჩქარით. ამ შემთხვევაში, გარკვეული პერიოდის განმავლობაში გავლილი მანძილისთვის, ჩვენ ვიღებთ მიახლოებით მნიშვნელობას, სადაც . ამ მნიშვნელობების დამატებით მივიღებთ სავარაუდო მნიშვნელობას

ყველა მოძრაობისთვის ინტერვალზე.

ნაპოვნი მიახლოებითი მნიშვნელობა რაც უფრო ზუსტია, მით უფრო წვრილად არის ჩვენ მიერ გაკეთებული ინტერვალის გაყოფა, ე.ი. მით უფრო მცირეა უდიდესის მნიშვნელობა იმ ინტერვალებიდან, რომლებზეც იყოფა ინტერვალი.

ეს ნიშნავს, რომ გადაადგილების რაოდენობა, რომელსაც ჩვენ ვეძებთ, არის ლიმიტი

(5)

(4) ფორმის ჯამები, როდესაც მნიშვნელობა ნულისკენ მიისწრაფვის.

სპეციალური ფორმის (4) ჯამებს ეწოდება ინტეგრალური ჯამები ფუნქციისთვის ინტერვალზე, ხოლო მათ ზღვარს (5), რომელიც მიიღება დანაყოფების შეუზღუდავი წვრილმარცვლებით, ეწოდება ფუნქციის ინტეგრალი (ან გარკვეული ინტეგრალი). ინტერვალი . ინტეგრალი აღინიშნება სიმბოლოთი

რომლებშიც რიცხვებს უწოდებენ ინტეგრაციის ზღვრებს და - ქვედა და - ინტეგრაციის ზედა ზღვარს; ინტეგრალური ნიშნის ქვეშ მყოფ ფუნქციას ინტეგრანდს უწოდებენ; - ინტეგრანდული გამოხატულება; - ინტეგრაციის ცვლადი.

ასე რომ, განსაზღვრებით,

. (6)

ეს ნიშნავს, რომ სხეულის მოძრაობის სასურველი რაოდენობა დროის ინტერვალზე მოძრაობის ცნობილი სიჩქარით გამოიხატება ფუნქციის ინტეგრალით (6) ინტერვალზე.

თუ შევადარებთ ამ შედეგს იმ შედეგს, რომელიც მითითებული იყო ანტიდერივატიულ ენაზე ამ მაგალითის განხილვის დასაწყისში, მივდივართ ცნობილ მიმართებამდე:

თუ . ტოლობას (7) ეწოდება ნიუტონ-ლაიბნიცის ფორმულა. მის მარცხენა მხარეს არის ინტეგრალი გაგებული, როგორც ლიმიტი (6), ხოლო მარჯვენა მხარეს არის ფუნქციის მნიშვნელობების სხვაობა (ბოლოებში და ინტეგრაციის ინტერვალში), ინტეგრანტის ანტიდერივატი. ამრიგად, ნიუტონ-ლაიბნიცის ფორმულა აკავშირებს ინტეგრალს (6) და ანტიწარმოებულს. მაშასადამე, ეს ფორმულა შეიძლება გამოყენებულ იქნას ორი საპირისპირო მიმართულებით: ინტეგრალის გამოსათვლელად ანტიწარმოებულის მოძიებით, ან ანტიწარმოებულის ნამატის მისაღებად ინტეგრალის აღმოჩენით მიმართებით (6). ქვემოთ დავინახავთ, რომ ნიუტონ-ლაიბნიცის ფორმულის ორივე ეს გამოყენება ძალიან მნიშვნელოვანია.

ინტეგრალი (6) და ფორმულა (7) პრინციპში წყვეტს ჩვენს მაგალითში დასმულ პრობლემას. ასე რომ, თუ (როგორც ეს ხდება თავისუფალი ვარდნის შემთხვევაში, დაწყებული მოსვენების მდგომარეობიდან, ე. ფუნქციონირებს ფორმულის მიხედვით (7), ვიღებთ მნიშვნელობას

მოძრაობა მომენტიდან წამამდე გასული დროის განმავლობაში.

ახლახან გაანალიზებულ ფიზიკურ პრობლემაზე დაყრდნობით, რომელმაც მიგვიყვანა ინტეგრალამდე და ნიუტონ-ლაიბნიცის ფორმულამდე, განზოგადება გაკეთებული დაკვირვებები, ახლა შეგვიძლია ვთქვათ, რომ თუ ფუნქცია მოცემულია გარკვეულ ინტერვალზე, მაშინ, ინტერვალის გაყოფა წერტილებზე, შედგენა განუყოფელი ჯამები

სადაც , , და გადავდივართ ზღვრამდე , სადაც , განსაზღვრებით ვიღებთ ინტეგრალს

(6")

ფუნქციიდან ინტერვალზე. თუ ამავე დროს , ე.ი. არის ფუნქციის ანტიდერივატი ინტერვალზე, მაშინ ნიუტონ-ლაიბნიცის ფორმულა მოქმედებს:

. (7)

ასე რომ, განისაზღვრა ინტეგრალური კალკულუსის ყველაზე მნიშვნელოვანი ცნებები და მიღებულია ინტეგრაციისა და დიფერენციაციის დამაკავშირებელი ნიუტონ-ლაიბნიცის ფორმულა.

ისევე, როგორც დიფერენციალურ გამოთვლებში წარმოებულის ცნებას მიჰყავდა არა მხოლოდ მოძრაობის მყისიერი სიჩქარის განსაზღვრის პრობლემა, არამედ ტანგენტის დახატვის პრობლემაც, ასევე ინტეგრალის ცნებას არა მხოლოდ მოძრაობის მოცემული სიჩქარით გავლილი მანძილის განსაზღვრის ფიზიკური პრობლემა, არამედ მრავალი სხვა პრობლემა და მათ შორის არის უძველესი გეომეტრიული ამოცანები ფართობებისა და მოცულობების გამოთვლის შესახებ.

დავუშვათ, რომ უნდა ვიპოვოთ ნახ. 1 ფიგურა (ე.წ. curvilinear trapezoid), რომლის ზედა „გვერდი“ არის სეგმენტზე მითითებული ფუნქციის გრაფიკი. ჩვენ ვიყენებთ წერტილებს, რომ დავყოთ სეგმენტი პატარა სეგმენტებად, რომელთაგან თითოეულში ვაფიქსირებთ გარკვეულ წერტილს. მოდით, დაახლოებით შევცვალოთ სეგმენტის ზემოთ მდებარე ვიწრო მოხრილი ტრაპეციის ფართობი შესაბამისი მართკუთხედის ფართობით ფუძით და სიმაღლით. ამ შემთხვევაში, მთელი ფიგურის ფართობის მიახლოებითი მნიშვნელობა მოცემულია ნაცნობი ინტეგრალური ჯამით, ხოლო სასურველი ფართობის ზუსტი მნიშვნელობა მიიღება ასეთი ჯამების ზღვრად, როდესაც ყველაზე დიდი სეგმენტის სიგრძეა. დანაყოფი მიდრეკილია ნულისკენ. ამრიგად, ჩვენ ვიღებთ:

ახლა ვცადოთ, არქიმედეს მიყოლებით, გავარკვიოთ, რა თანაფარდობით ყოფს პარაბოლა ნახ. 2 ერთეული კვადრატი. ამისათვის ჩვენ უბრალოდ ვიანგარიშებთ, ფორმულის საფუძველზე (8), ქვედა პარაბოლური სამკუთხედის ფართობი. ჩვენს შემთხვევაში და. ჩვენ ვიცით ფუნქციის ანტიდერივატი, რაც ნიშნავს, რომ შეგვიძლია გამოვიყენოთ ნიუტონ-ლაიბნიცის ფორმულა (7") და ადვილად მივიღოთ

.

ამრიგად, პარაბოლა ყოფს კვადრატის ფართობს 2:1 თანაფარდობით.

ინტეგრალებთან ურთიერთობისას, განსაკუთრებით ნიუტონ-ლაიბნიცის ფორმულის გამოყენებით, შეგიძლიათ გამოიყენოთ განუსაზღვრელი ინტეგრალის ზოგადი თვისებები, რომლებიც დასახელებულია სტატიის დასაწყისში. კერძოდ, ცვლადის შეცვლის წესი განუსაზღვრელ ინტეგრალში, იმ პირობით, რომ , ნიუტონ-ლაიბნიცის ფორმულის გათვალისწინებით, საშუალებას გვაძლევს დავასკვნათ, რომ

და ამრიგად, მიღებულია ძალიან სასარგებლო ფორმულა განსაზღვრულ ინტეგრალში ცვლადის შეცვლისთვის:

. (9)

სხეულების მოცულობა ასევე გამოითვლება ინტეგრალის გამოყენებით. თუ ნაჩვენებია ნახ. 1 მოხრილი ტრაპეცია ბრუნავს ღერძის ირგვლივ, თქვენ მიიღებთ ბრუნვის სხეულს, რომელიც დაახლოებით შეიძლება ჩაითვალოს ვიწრო ცილინდრებისგან შემდგარი (ნახ. 3), მიღებული შესაბამისი მართკუთხედების ბრუნვით. იგივე აღნიშვნის დაცვით, ჩვენ ვწერთ თითოეული ამ ცილინდრის მოცულობას სახით (ფუძის ფართობის და სიმაღლის ნამრავლი). ჯამი იძლევა რევოლუციის განხილული სხეულის მოცულობის სავარაუდო მნიშვნელობას. ზუსტი ღირებულება მიიღება როგორც ასეთი თანხების ლიმიტი ზე. ნიშნავს,

. (10)

კერძოდ, ნახ. 4 კონუსი, საკმარისია ჩავდოთ ფორმულაში (10) , და სად არის შემობრუნებული სწორი ხაზის კუთხური კოეფიციენტი. ფუნქციის ანტიდერივატივის და ნიუტონ-ლაიბნიცის ფორმულის გამოყენებით, მივიღებთ

სად არის წრის ფართობი კონუსის ძირში.

გაანალიზებულ მაგალითებში ჩვენ ამოვწურეთ გეომეტრიული ფიგურა ისეთი ფიგურებით, რომელთა ფართობების ან მოცულობების გამოთვლა შეიძლებოდა, შემდეგ კი ზღვრამდე გადავიტანეთ. ამ ტექნიკას, რომელიც მომდინარეობს ევდოქსისგან და შეიმუშავა არქიმედესმა, ეწოდება ამოწურვის მეთოდს. ეს არის მსჯელობის ყველაზე გავრცელებული მეთოდი ინტეგრალის უმეტეს აპლიკაციებში.

”რადგან ლულები დაკავშირებულია წრესთან, კონუსთან და ცილინდრთან - რეგულარული ფიგურებით, ისინი ამით ემორჩილებიან გეომეტრიულ ცვლილებებს.” ი.კეპლერი

მნიშვნელობა არის ის, სადაც ინტეგრალური გველები არიან. რიცხვებსა და ასოებს შორის, და შორის! V. Ya. Bryusov

სლაიდი 2

ისტორიული ცნობა

ინტეგრალის ცნების ისტორია მჭიდროდ არის დაკავშირებული კვადრატების პოვნის პრობლემებთან, ე.ი. ტერიტორიების გაანგარიშების პრობლემები. ზედაპირის ფართობისა და სხეულების მოცულობის გამოთვლები განხორციელდა ძველი საბერძნეთისა და რომის მათემატიკოსების მიერ. პირველი ევროპელი მათემატიკოსი, რომელმაც მიიღო ახალი ფორმულები ფიგურებისა და სხეულების მოცულობის ფართობებისთვის, იყო ცნობილი ასტრონომი ი.კეპლერი. არაერთი მეცნიერის (პ. ფერმატი, დ. უოლისი) გამოკვლევის შემდეგ ი. ბაროუმ აღმოაჩინა კავშირი არეების პოვნისა და ტანგენტის (ე.ი. ინტეგრაციასა და დიფერენციაციას შორის) პრობლემებს შორის. ამ ოპერაციებს შორის კავშირის შესწავლა გეომეტრიული ენისგან თავისუფალი იყო ი.ნიუტონმა და გ.ლაიბნიცმა. ინტეგრალის თანამედროვე აღნიშვნა ბრუნდება ლაიბნიცში, რომელშიც გამოთქვა აზრი, რომ მრუდი ტრაპეციის ფართობი არის d სიგანისა და სიმაღლის f(x) უსასრულოდ თხელი ზოლების არეების ჯამი. თავად ინტეგრალური ნიშანი არის სტილიზებული ლათინური ასო S (summa). ინტეგრალური სიმბოლო შემოიღეს 1675 წელს, ხოლო ინტეგრალური გამოთვლების კითხვები 1696 წლიდან სწავლობდა. მიუხედავად იმისა, რომ ინტეგრალი ძირითადად მათემატიკოსების მიერ არის შესწავლილი, ფიზიკოსებმაც შეიტანეს თავიანთი წვლილი ამ მეცნიერებაში. თითქმის არცერთ ფიზიკურ ფორმულას არ შეუძლია დიფერენციალური და ინტეგრალური გამოთვლების გარეშე.

სლაიდი 3

ინტეგრალური კალკულუსის მოკლე ისტორია

ძველი საბერძნეთის მათემატიკოსების მრავალი მნიშვნელოვანი მიღწევა სხეულების ფართობისა და მოცულობის აღმოჩენის პრობლემების გადაჭრაში ასოცირდება არქიმედეს სახელთან (ძვ. წ. 287-212 წწ.). მისი წინამორბედების იდეების შემუშავებით, არქიმედემ განსაზღვრა წრის გარშემოწერილობა და ფართობი. , ბურთის მოცულობა და ზედაპირი. თავის ნაშრომებში "სფეროზე და ცილინდრზე", "სპირალებზე", "კონოიდებსა და სფეროებზე" მან აჩვენა, რომ რევოლუციის სფეროს, ელიფსოიდის, ჰიპერბოლოიდის და პარაბოლოიდის მოცულობების განსაზღვრა კონუსის მოცულობის განსაზღვრამდე მცირდება. და ცილინდრი. არქიმედემ შეიმუშავა და გამოიყენა მეთოდები, რომლებიც ითვალისწინებდა იმას, რაც შეიქმნა მე -17 საუკუნეში. ინტეგრალური გაანგარიშება. ათას ნახევარზე მეტი წელი დასჭირდა, სანამ არქიმედეს იდეებმა მკაფიო გამოხატულება ჰპოვა და გამოთვლის დონემდე მიიყვანა. მე-17 საუკუნეში მათემატიკოსებმა უკვე იცოდნენ, როგორ გამოეთვალათ მრავალი ფიგურის ფართობი მრუდი საზღვრებით და მრავალი სხეულის მოცულობით. და ზოგადი თეორია შეიქმნა მე-17 საუკუნის მეორე ნახევარში. დიდი ინგლისელი მათემატიკოსის ისააკ ნიუტონის (1643-1716) და დიდი გერმანელი მათემატიკოსის გოტფრიდ ლაიბნიცის (1646-1716) ნაშრომებში. ნიუტონი და ლაიბნიცი ინტეგრალური კალკულუსის ფუძემდებელია. მათ აღმოაჩინეს მნიშვნელოვანი თეორემა, რომელიც მათ სახელს ატარებს: სადაც f(x) არის ინტერვალზე ინტეგრირებადი ფუნქცია, F(x) არის მისი ერთ-ერთი ანტიდერივატი. ნიუტონისა და ლაიბნიცის მსჯელობა არასრულყოფილია თანამედროვე მათემატიკური ანალიზის თვალსაზრისით. მე-18 საუკუნეში მათემატიკური ანალიზის უდიდესმა წარმომადგენელმა ლეონარდ ეილერმა ეს ცნებები თავის ნაშრომებში განზოგადდა. მხოლოდ XIX საუკუნის დასაწყისში. საბოლოოდ შეიქმნა ინტეგრალური კალკულუსის ცნებები. ჩვეულებრივ, აღინიშნება ფრანგი მათემატიკოსის ავგუსტინ კოშისა და გერმანელი მათემატიკოსის გეორგ რიმანის ღვაწლი. თავად სიტყვა ინტეგრალი გამოიგონა J. Bernoulli (1690). იგი მომდინარეობს ლათინური ინტეგროდან, რაც ითარგმნება როგორც წინა მდგომარეობაში მოყვანა, აღდგენა. 1696 წელს გაჩნდა მათემატიკის ახალი დარგის სახელიც - ინტეგრალური კალკულუსი, რომელიც შემოიღო ი.ბერნულმა. ახლა გამოყენებული სახელი, პრიმიტიული ფუნქცია, შეცვალა ადრინდელი „პრიმიტიული ფუნქცია“, რომელიც შემოიღო ლაგრანჟმა (1797). განსაზღვრული ინტეგრალური აღნიშვნა შემოიღო ჯოზეფ ბერნულმა, ხოლო ქვედა და ზედა ზღვარი ლეონარდ ეილერმა.

სლაიდი 4

განუსაზღვრელი ინტეგრალი

მათემატიკური ოპერაციები ქმნიან წყვილებს ორი ურთიერთშებრუნებული მოქმედებისგან, მაგალითად, შეკრება და გამოკლება, გამრავლება და გაყოფა, დადებით მთელ რიცხვამდე აწევა და ფესვის ამოღება. დიფერენციაცია შესაძლებელს ხდის მოცემულ F(x) ფუნქციას იპოვოს მისი წარმოებული F´(x). არსებობს დიფერენციაციის შებრუნებული მოქმედება - ეს არის ინტეგრაცია - F(x) ფუნქციის პოვნა მისი ცნობილი წარმოებულიდან f(x) = F´(x) ან დიფერენციალური f(x)dx. F(x) ფუნქციას ეწოდება f(x) ფუნქციის ანტიდერივატი, თუ F´(x) = f(x) ან dF(x)=f(x)dx თუ f(x) ფუნქციას აქვს ანტიწარმოებული. F(x), მაშინ მას აქვს უსასრულო რაოდენობის ანტიწარმოებულები და ყველა მისი ანტიწარმოებული შეიცავს გამოთქმაში F(x) + C, სადაც C არის მუდმივი. f(x) ფუნქციის განუსაზღვრელი ინტეგრალი (ან გამონათქვამის f(x)dx) არის მისი ყველა ანტიწარმოებულის სიმრავლე. აღნიშვნა ∫f(x)dx = F(x) +C. აქ ∫ არის ინტეგრალის ნიშანი, f(x) არის ინტეგრანტი, f(x)dx არის ინტეგრადი, x არის ინტეგრაციის ცვლადი. განუსაზღვრელი ინტეგრალის პოვნას ფუნქციის ინტეგრირება ეწოდება. განუსაზღვრელი ინტეგრალის თვისებები განუსაზღვრელი ინტეგრალის წარმოებული უდრის ინტეგრანდს: (∫ f(x)dx)´ = f(x) განუსაზღვრელი ინტეგრალის დიფერენციალი ინტეგრადის ტოლია: d (∫ f(x) dx) = f(x) dx ანტიწარმოებულის დიფერენციალური ინტეგრალი უდრის თავად ანტიწარმოებულს და დამატებით წევრს C: ∫d (F(x)) = F(x) +C მუდმივი ფაქტორის ამოღება შესაძლებელია განუსაზღვრელი ინტეგრალის ნიშანი: ∫a f(x) dx =a ∫f(x) dx სასრული რაოდენობის ფუნქციების ალგებრული ჯამის ინტეგრალი უდრის ტერმინების ინტეგრალების ალგებრულ ჯამს: ∫ dx = ∫ dx ± ∫ dx

სლაიდი 5

განსაზღვრული ინტეგრალი

განსაზღვრული ინტეგრალის ცნება მიღებულია მრუდი ტრაპეციის მეშვეობით. მრუდი ტრაპეცია არის ფიგურა, რომელიც შემოიფარგლება ხაზებით y = f(x), y = 0, x=a, x=b. მრუდი ტრაპეციის ფართობი გამოიხატება ინტეგრალური ჯამით ან რიცხვით, რომელსაც ეწოდება განსაზღვრული ინტეგრალი. . განსაზღვრული ინტეგრალი გამოითვლება ნიუტონ-ლაიბნიცის ფორმულით. = F (x)|ba= F(b) – F(a) განსაზღვრული და განუსაზღვრელი ინტეგრალების საერთო აღნიშვნა ხაზს უსვამს მათ შორის მჭიდრო კავშირს: განსაზღვრული ინტეგრალი არის რიცხვი, ხოლო განუსაზღვრელი ინტეგრალი არის ანტიწარმოებული ფუნქციების სიმრავლე. კავშირი განსაზღვრულ და განუსაზღვრელ ინტეგრალს შორის გამოიხატება ნიუტონ-ლაიბნიცის ფორმულით. განსაზღვრული ინტეგრალის თვისებები: თუ ინტეგრაციის ზედა და ქვედა ზღვრები ერთმანეთს შევცვლით, მაშინ განსაზღვრული ინტეგრალი შეინარჩუნებს თავის აბსოლუტურ მნიშვნელობას, მაგრამ შეცვლის თავის ნიშანს საპირისპიროდ. თუ ინტეგრაციის ზედა და ქვედა ზღვარი ტოლია, მაშინ განსაზღვრული ინტეგრალი ნულის ტოლია. თუ ინტეგრაციის სეგმენტი დაყოფილია რამდენიმე ნაწილად, სეგმენტზე განსაზღვრული ინტეგრალი ტოლი იქნება ამ სეგმენტების განსაზღვრული ინტეგრალების ჯამის. ინტერვალზე მითითებული ფუნქციების ჯამის განსაზღვრული ინტეგრალი უდრის ფუნქციათა ჯამის განსაზღვრული ინტეგრალების ჯამს. ინტეგრალის მუდმივი ფაქტორი შეიძლება ამოღებულ იქნას განსაზღვრული ინტეგრალის ნიშნიდან. განსაზღვრული ინტეგრალის შეფასება: თუ m ≤ f(x) ≤ M on , მაშინ m (b – a)

სლაიდი 6

განსაზღვრული ინტეგრალის გეომეტრიული მნიშვნელობა

y=f(x) ფუნქცია იყოს უწყვეტი სეგმენტზე და f(x) ≥ 0. y=f(x) ფუნქციის AB გრაფიკით შემოსაზღვრული ფიგურა, სწორი ხაზები x=a, x=b და. Ox-ის ღერძს (იხ. სურათი) ეწოდება მრუდი ტრაპეცია. ინტეგრალურ ჯამს და მის ტერმინებს აქვს მარტივი გეომეტრიული მნიშვნელობა: პროდუქტი უდრის მართკუთხედის ფართობს ფუძითა და სიმაღლით, ხოლო ჯამი არის ნახატზე ნაჩვენები დაჩრდილული საფეხურის ფიგურის ფართობი. ცხადია, ეს ტერიტორია დამოკიდებულია სეგმენტის ნაწილობრივ სეგმენტებად დაყოფაზე და გაყოფის წერტილების რაოდენობის არჩევანზე. რაც უფრო მცირეა ∆ x, მით უფრო ახლოს არის საფეხურიანი ფიგურის ფართობი მრუდი ტრაპეციის ფართობთან. შესაბამისად, ინტეგრალური ჯამის ზღვარი აღებულია, როგორც მრუდი ტრაპეციის ზუსტი ფართობი S. ამრიგად, გეომეტრიული თვალსაზრისით, არაუარყოფითი ფუნქციის განსაზღვრული ინტეგრალი რიცხობრივად უდრის შესაბამისი მრუდი ტრაპეციის ფართობს.

სლაიდი 7

ინტეგრაციის მეთოდები

1. პირდაპირი ინტეგრაცია პირდაპირ ინტეგრაციას ჩვეულებრივ უწოდებენ განუსაზღვრელი ინტეგრალების გამოთვლას მათი ცხრილების შემცირებით ძირითადი თვისებების გამოყენებით. აქ შეიძლება წარმოიშვას შემდეგი შემთხვევები: 1) ეს ინტეგრალი აღებულია უშუალოდ შესაბამისი ცხრილის ინტეგრალის ფორმულიდან; 2) ეს ინტეგრალი თვისებების გამოყენების შემდეგ მცირდება ერთ ან რამდენიმე ცხრილის ინტეგრალამდე; 3) ეს ინტეგრალი, ინტეგრანდზე ელემენტარული იდენტობის გარდაქმნებისა და თვისებების გამოყენების შემდეგ, მცირდება ერთ ან მეტ ცხრილურ ინტეგრალამდე. 2. ინტეგრაცია ცვლადის ჩანაცვლების მეთოდით (ჩანაცვლების მეთოდი) ცვლადის ჩანაცვლება განუსაზღვრელ ინტეგრალში ხორციელდება ორი ტიპის ჩანაცვლების გამოყენებით: x = φ (t), სადაც φ (t) არის მონოტონური, განუწყვეტლივ დიფერენცირებადი ფუნქცია. ახალი ცვლადი t. ცვლადის ფორმულის ცვლილებას ამ შემთხვევაში აქვს ფორმა ∫f(x) = ∫f [φ (t)] φ΄ (t) d(t); 2) u = ψ(x), სადაც u არის ახალი ცვლადი. ცვლადის შეცვლის ფორმულა ამ ჩანაცვლებით არის: ∫f [ψ(x)] ψ ΄(x) d(x) = ∫f (u) du 3. ინტეგრაცია ნაწილებით ინტეგრაცია ნაწილების მიხედვით არის ინტეგრალის პოვნის პროცესი. ∫udv = uv - ∫ v du ფორმულის გამოყენებით, სადაც u = φ (x), v = ψ(x) არის x-ის განუწყვეტლივ დიფერენცირებადი ფუნქციები. ამ ფორმულის გამოყენებით, ∫udv ინტეგრალის პოვნა მცირდება სხვა ინტეგრალის ∫v du-ს პოვნამდე; მისი გამოყენება მიზანშეწონილია იმ შემთხვევებში, როდესაც ბოლო ინტეგრალი ან უფრო მარტივია ვიდრე ორიგინალი ან მსგავსია. ამ შემთხვევაში, u მიიღება ფუნქციად, რომელიც ამარტივებს დიფერენციაციისას, ხოლო dv მიიღება ინტეგრატის ის ნაწილი, რომლის ინტეგრალი ცნობილია ან შეიძლება მოიძებნოს.

სლაიდი 8

განუსაზღვრელი ინტეგრალების ცხრილი