მომავალი მკვლევარი იბადება

არა 30 წლის, სწავლობს მაგისტრატურაში,

და ბევრად უფრო ადრე, ვიდრე იმ დროს, როდესაც

მშობლები მას პირველად წაიყვანენ საბავშვო ბაღში.

ალექსანდრე ილიჩ სავენკოვი

პედაგოგიურ მეცნიერებათა დოქტორი, მოსკოვის სახელმწიფო პედაგოგიური უნივერსიტეტის პროფესორი

ახალი ტექნოლოგიების განვითარებასთან ერთად მკვეთრად გაიზარდა მოთხოვნა ინოვაციური აზროვნების და ახალი პრობლემების დასმისა და გადაჭრის უნარის მქონე ადამიანებზე. ამიტომ, სტუდენტების მათემატიკური მომზადება უფრო აქტუალური ხდება, ვიდრე ოდესმე. აქ მიზანშეწონილია გავიხსენოთ დიდი რუსი მეცნიერის მიხაილ ვასილიევიჩ ლომონოსოვის განცხადება: „მათემატიკა მხოლოდ მაშინ უნდა ისწავლებოდეს, რადგან ის გონებას აწესრიგებს“.

ყველა ადამიანს აქვს სივრცის, სხეულების და გეომეტრიული ფორმების ვიზუალური კონცეფცია. სასკოლო გეომეტრიის კურსში შევისწავლით სხვადასხვა სხეულს და მათ თვისებებს.

მაგრამ ეს იქნება მომავალში, მაგრამ ახლა მე მაინტერესებს კითხვა: "რა არის Möbius ზოლები?" თქვენ მკითხავთ, რატომ მაინტერესებს ეს. Მე გიპასუხებ. ძალიან მიყვარს კითხვა. განსაკუთრებით სამეცნიერო ფანტასტიკა. ჩემი ერთ-ერთი საყვარელი სამეცნიერო ფანტასტიკის მწერალი არის არტურ სი კლარკი.

თავის მოთხრობაში "სიბნელის კედელი" ერთ-ერთი პერსონაჟი მოგზაურობს უჩვეულო პლანეტაზე, მრუდი მობიუსის ზოლის სახით. დავინტერესდი, როგორი ფიგურაა ეს და რა თვისებები აქვს მას.

შესაბამისი ლიტერატურისა და ინტერნეტ წყაროების შესწავლის შემდეგ გავიგე, რომ ეს საკითხი მათემატიკის ცალკეულ დარგში - ტოპოლოგიაშია შესწავლილი. ამიტომ ჩემი ნამუშევარი ეძღვნება ამ სფეროში უმარტივესი კვლევითი პრობლემის გადაჭრას.

ნაშრომის მიზანი შეიძლება ჩამოყალიბდეს როგორც მათემატიკის ერთ-ერთი ყველაზე საინტერესო და უჩვეულო დარგის, კერძოდ, ტოპოლოგიისა და ზოგიერთი ობიექტის ტოპოლოგიური თვისებების შესწავლის გაგება.

მიზნის მისაღწევად მე გადავწყვიტე შემდეგი ამოცანები:

გაიგოს რას სწავლობს ეს მეცნიერება;

შეისწავლეთ მისი წარმოშობის ისტორია;

განვიხილოთ ზოგიერთი ობიექტის ტოპოლოგიური თვისებები;

გაეცანით ტოპოლოგიის პრაქტიკულ გამოყენებას.

არჩეული თემის აქტუალობა მდგომარეობს იმაში, რომ ბოლო დროს ეს მეცნიერება სულ უფრო მეტად შეაღწია ადამიანის ცოდნის ისეთ ფუნდამენტურ სფეროებში, როგორიცაა ფიზიკა, ქიმია და ბიოლოგია. აქედან გამომდინარე, მისი საფუძვლების ცოდნა მნიშვნელოვანი ხდება ტექნიკურად განათლებული ადამიანისთვის, რომელიც ცხოვრობსXXIსაუკუნეში.

ᲛᲗᲐᲕᲐᲠᲘ ᲜᲐᲬᲘᲚᲘ

ტოპოლოგია, როგორც მეცნიერება და მისი გაჩენის წინაპირობები

გეომეტრიის სხვა დარგებისგან განსხვავებით, სადაც დიდი მნიშვნელობა აქვს ობიექტების სიგრძის, ფართობების, კუთხეების თანაფარდობას და სხვა რაოდენობრივ მახასიათებლებს, ტოპოლოგიას ეს ყველაფერი არ აინტერესებს, რადგან აქ გეომეტრიული სტრუქტურების შესახებ სხვა, თვისებრივი კითხვებია შესწავლილი.

დავიწყოთ ამ მომხიბლავი მეცნიერების საფუძვლების გაგება. თუ ლიტერატურულ წყაროებს მივმართავთ, შეგვიძლია ვიპოვოთ ამ ცნების შემდეგი განმარტება.

ტოპოლოგია - მათემატიკის ფილიალი, რომელიც შეისწავლის ფიგურების (ან სივრცეების) თვისებებს, რომლებიც შენარჩუნებულია უწყვეტი დეფორმაციების დროს, როგორიცაა გაჭიმვა, შეკუმშვა ან მოხრილი.

მოდით ავხსნათ აქ არსებული „უწყვეტი დეფორმაციის“ კონცეფცია. უწყვეტი დეფორმაცია არის ფიგურის დეფორმაცია, რომელშიც არ არის შესვენება (ანუ ფიგურის მთლიანობის დარღვევა) ან წებოვნება (ანუ მისი წერტილების იდენტიფიცირება).

მათემატიკის ყველა დარგს აქვს ძირითადი იდეა. ტოპოლოგია არ არის გამონაკლისი. ტოპოლოგიის მთავარი იდეა არის უწყვეტობის იდეა, ანუ ტოპოლოგია სწავლობს გეომეტრიული ობიექტების იმ თვისებებს, რომლებიც შენარჩუნებულია უწყვეტი გარდაქმნების დროს.

უწყვეტი გარდაქმნები ხასიათდება იმით, რომ ტრანსფორმაციის წინ „ერთმანეთთან ახლოს“ მდებარე წერტილები რჩება ტრანსფორმაციის დასრულების შემდეგაც. ტოპოლოგიური გარდაქმნების დროს ობიექტებს ეძლევათ დაჭიმვა და მოხრილი უფლება, მაგრამ მათ არ ეძლევათ დაშლა ან გატეხვა.

ტოპოლოგიის დეფინიციის ვიზუალიზაციისთვის უნდა ითქვას, რომ ამ მეცნიერების თვალსაზრისით, ისეთი ობიექტები, როგორიცაა ჩაის ჭიქა და დონატი, ერთმანეთისგან არ განსხვავდება. სწორედ ამიტომ არის მეცნიერთა შორის გამოთქმა, რომელიც ამბობს, რომ მათემატიკოსი, რომელიც ტოპოლოგიას სწავლობს, არის ადამიანი, რომელსაც არ შეუძლია განასხვავოს ბაგელი ჩაის ჭიქისგან. ეს განცხადება მართალია, რადგან რეზინის ნაჭრის დაჭერით და გაჭიმვით, საიდანაც ეს საგნები მზადდება, შეგიძლიათ ერთი სხეულიდან მეორეზე გადასვლა.

ნახატი 1ჭიქის დონატად გადაქცევის პროცესი (ტორუსი)

ავიღოთ ისტორიული ექსკურსია და დავუბრუნდეთXVIIIსაუკუნეში, როდესაც ამ მეცნიერებას საფუძველი ჩაეყარა.

ერთ-ერთი მეცნიერი, რომელიც ამ მეცნიერების სათავეში იდგა, არის გერმანელი მათემატიკოსი და მექანიკოსი.XVIIIსაუკუნეში ლეონჰარდ ეილერი. 1752 წელს მან დაამტკიცა დეკარტის ფორმულა, რომელიც გამოხატავს კავშირს მარტივი პოლიედრების წვეროების, კიდეებისა და სახეების რაოდენობას შორის:

სად,.

ეილერის შემდეგი წვლილი ტოპოლოგიის განვითარებაში იყო ცნობილი ხიდის პრობლემის გადაწყვეტა. საუბარი იყო კუნძულზე მდინარე პრეგოლზე, კონიგსბერგში (ადგილზე, სადაც მდინარე იყოფა ორ განშტოებად - ძველ და ახალ პრეგოლში) და შვიდ ხიდს, რომელიც აკავშირებს კუნძულს ნაპირებთან (ნახ. 2).

საჭირო იყო გაერკვია, შეიძლებოდა თუ არა უწყვეტი მარშრუტის გასწვრივ შვიდივე ხიდის შემოვლა, თითოეულის მონახულება მხოლოდ ერთხელ და დაბრუნება საწყის წერტილში. ეილერმა მიწის მასები შეცვალა წერტილებით და ხიდები ხაზებით. ეილერმა უწოდა მიღებული სქემაითვლიან (ნახ. 3), წერტილები მისი წვეროებია, ხაზები კი კიდეები.

ნახატი 2კოენიგსბერგის ხიდების პრობლემა

L - მარცხენა სანაპირო , R - მარჯვენა სანაპირო ,

ნახატი 3გრაფიკი

წვეროები მეცნიერმა დაყო ლუწად და კენტებად, რაც დამოკიდებულია წვეროდან გამომავალი კიდეების რაოდენობაზე. ეილერმა დაამტკიცა, რომ გრაფიკის ყველა კიდე შეიძლება ზუსტად ერთხელ გაიაროს უწყვეტი დახურული მარშრუტის გასწვრივ მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ გრაფიკი შეიცავს მხოლოდ ლუწ წვეროებს.

ვინაიდან კენიგსბერგის ხიდების პრობლემის გრაფიკი შეიცავს მხოლოდ კენტ წვეროებს, საჭირო საფეხმავლო მარშრუტი არ არსებობს.

ეს პრობლემა ასახავს „უნიკურსალური გრაფიკის“ კონცეფციის პრაქტიკულ გამოყენებას, რომელიც გამოჩნდა ტოპოლოგიის ლექსიკონში.XXსაუკუნეში. გრაფიკი ე.წუნიკურსალური , თუ შეიძლება „ერთი მოსმით დახატვა“, ე.ი. გაიარეთ ეს ყველაფერი უწყვეტი მოძრაობით, ერთი და იმავე კიდის ორჯერ გავლის გარეშე.

ამრიგად, კონიგსბერგის ხიდების პრობლემის გრაფიკი არ არის ცალსახა და ამიტომ პრობლემას არ აქვს გამოსავალი.

ტერმინი „ტოპოლოგია“ პირველად ჩნდება მისი სკოლის მასწავლებლის მიულერისადმი მიწერილ წერილში, რომელიც გერმანელმა მათემატიკოსმა და ფიზიკოსმა, გიოტინგენის უნივერსიტეტის პროფესორმა იოჰან ლისტინგმა დაწერა 1836 წელს. ზოგადი ტოპოლოგია, წარმოშობილი ქXIXსაუკუნეში, საბოლოოდ ჩამოყალიბდა დამოუკიდებელ მათემატიკურ დისციპლინად მეორე ნახევარშიXXსაუკუნეში. ამას დიდწილად შეუწყო ხელი აკადემიკოს პ.ს. ალექსანდროვა.

ობიექტების ტოპოლოგიური თვისებები

პოპულარულ სამეცნიერო ლიტერატურაში ტოპოლოგიას ხშირად რეზინის გეომეტრიას უწოდებენ. ამის გასაგებად, თქვენ უნდა წარმოიდგინოთ, რომ გეომეტრიული ობიექტი დამზადებულია რეზინისგან და ამავდროულად აქვს შემდეგი თვისებები: მისი შეკუმშვა, დაჭიმვა, გადახვევა (ანუ ყველა სახის დეფორმაციის ქვეშ მყოფი) მაგრამ ეს არ შეიძლება. დახეული და ერთმანეთში წებოვანი.

მაგალითად, პატარა ბურთი შეიძლება გაბერილი იყოს დიდის ზომამდე, შემდეგ გადაიქცეს ელიფსად, შემდეგ დეფორმირებული ჰანტელად.

ნახატი 4ობიექტების დეფორმაციის პროცესი

ანალოგიურად, შეგიძლიათ ბურთის ზედაპირი გადააქციოთ კუბის, კონუსის და სხვა ფიგურების ზედაპირზე. მათემატიკაში არის ისეთი თვისებები, რომლებიც არ ირღვევა რაიმე უწყვეტი დეფორმაციის დროს. სწორედ ეს არისტოპოლოგიური თვისებები . ამ თვისებებს სწავლობს ტოპოლოგიის ერთ-ერთი დარგი, ზოგადი ტოპოლოგია.

სასკოლო (ევკლიდეს) გეომეტრიაში შესწავლილი თვისებები არ არის ტოპოლოგიური. მაგალითად, სისწორე არ არის ტოპოლოგიური თვისება, რადგან სწორი ხაზი შეიძლება იყოს მოხრილი და დახრილი. სამკუთხედობა ასევე არ არის ტოპოლოგიური თვისება, რადგან სამკუთხედი შეიძლება მუდმივად დეფორმირებული იყოს წრეში.

სეგმენტების, კუთხეების, არეების სიგრძე - ყველა ეს კონცეფცია იცვლება უწყვეტი გარდაქმნებით. ტოპოლოგიური თვისების მაგალითია ტორუსში (დონატში) „ხვრელის“ არსებობა. უფრო მეტიც, მნიშვნელოვანია, რომ ხვრელი არ იყოს ტორუსის ნაწილი. არ აქვს მნიშვნელობა რამდენ უწყვეტ დეფორმაციას განიცდის ტორსი, ხვრელი დარჩება.

ცალმხრივი ზედაპირები

თითოეულ ჩვენგანს აქვს წარმოდგენა იმაზე, თუ რა არის "ზედაპირი". ჩვენ უბრალოდ გარშემორტყმული ვართ სხვადასხვა ზედაპირით: ფურცლის ზედაპირი, ტბის ზედაპირი, გლობუსის ზედაპირი...

როგორც წესი, ჩვენ წარმოვიდგენთ ზედაპირს ორი გვერდით: გარე და შიდა, წინა და უკანა და ა.შ. შეიძლება იყოს რაიმე მოულოდნელი და თუნდაც იდუმალი ასეთ ჩვეულებრივ კონცეფციაში? გამოდის, რომ შეუძლია.

1858 წელს გერმანელმა მათემატიკოსმა და ასტრონომმა ავგუსტ ფერდინანდ მობიუსმა (1790-1868) აღმოაჩინა ზედაპირი, რომელიც მოგვიანებით გახდა ცნობილი როგორც "მობიუსის ზოლი". ლეგენდის თანახმად, მობიუსს დაეხმარა თავისი "ფოთლის" აღმოჩენაში მოახლე, რომელმაც არასწორად შეკერა ჩვეულებრივი ლენტის ბოლოები.

Möbius ზოლები არის უმარტივესი ცალმხრივი ზედაპირი კიდეებით. ასეთი ზედაპირის ერთი წერტილიდან მეორეზე გადასვლა შესაძლებელია კიდეების გადაკვეთის გარეშე.

გავიმეოროთ ეს აღმოჩენა. შევქმნათ შესასწავლი ზედაპირი და შევისწავლოთ მისი თვისებები.

სამუშაოსთვის გვჭირდება A4 ფურცელი, სახაზავი, ფანქარი, მაკრატელი და წებო.

ნახატი 5ხელსაწყოები

ფურცელზე დახაზეთ ორი ზოლი 4 სმ სიგანეზე და ამოჭერით. ეს იქნება ბლანკები, საიდანაც ჩვენ გავაკეთებთ ჩვენს ფირს (ფურცელს).

ნახატი 6ბლანკის შექმნა

ერთი ზოლიდან დავაწებებთ ჩვეულებრივ რგოლს, ხოლო მეორედან - მობიუსის ზოლს. ამისთვის მეორე ზოლი ნახევრად შემოატრიალეთ და ბოლოები დააწებეთ.

ნახატი 7მუშაობის ეტაპები

ეს არის ის, რაც უნდა მივიღოთ.

ნახატი 8მუშაობის შედეგი

დავიწყოთ მიღებული ფიგურების თვისებების კვლევა. მობიუსის ზოლის წინა მხარის გარჩევა შეუძლებელია. ისინი მუდმივად გარდაიქმნებიან ერთმანეთში. ბეჭდის სხვადასხვა მხარის სხვადასხვა ფერის შეღებვის დავალება არანაირ სირთულეს არ გამოიწვევს. ვნახოთ ეს მარტივი მაგალითით. აიღეთ ფლომასტერი, მონიშნეთ წერტილი და დაიწყეთ ერთი მხარის განუწყვეტლივ ხატვა. დაინახავთ, რომ მხოლოდ მისი შიდა ზედაპირი იქნება მოხატული.

ნახატი 9ბეჭდის შეღებვა

მაგრამ იქნება ეს ჭეშმარიტი ჩვენი მეორე ქაღალდის ობიექტისთვის? გავიმეოროთ ექსპერიმენტი, ექსპერიმენტის ზედაპირად ავირჩიოთ არა ბეჭედი, არამედ მობიუსის ზოლი.

ნახატი 10მობიუსის ზოლის შეღებვა

ხედავთ, რომ მთელი ფურცელი ფერადი გახდა. მაგრამ ჩვენ მაინც მხოლოდ ერთ მხარეს დავხატეთ ფლომასტერი. აქედან შეგვიძლია დავასკვნათ, რომრომ ზოლს, საიდანაც მზადდება მობიუსის ზოლი, აქვს ორი მხარე, ხოლო თავად ზოლს აქვს ერთი. .

თუ მობიუსის ზოლის კიდეზე გადავაბიჯებთ, მაშინ სრული შემობრუნების შემდეგ აღმოვჩნდებით მეორე კიდეზე და მოვდივართ მოპირდაპირე მხრიდან.

მოდით გავაგრძელოთ ჩვენი კვლევა და განვიხილოთ კითხვა, თუ როგორ მოიქცევა ჩვენი ორი ფიგურა (ბეჭედი და მობიუსის ზოლი) მათი მოჭრისას. თუ რგოლს შუა ხაზის გასწვრივ გაჭრით, მიიღებთ ორ ვიწრო რგოლს

ნახატი 11ბეჭდის გაჭრა

ნახატი 12ბეჭდის ჭრის შედეგი

თუ მობიუსის ზოლს შუა ხაზის გასწვრივ გაჭრით, ის არ გაიყოფა ორ რგოლად, როგორც ეს იყო ბეჭდის ექსპერიმენტში. ჩვენ მივიღებთ ერთ რგოლს, მაგრამ ორჯერ უფრო გრძელი (მიღებულ რგოლს ექნება ორმხრივი ზედაპირი).

ნახატი 13მობიუსის ზოლის გაჭრა შუა ხაზის გასწვრივ

რა მოხდება, თუ მობიუსის ზოლს მოჭრით ზღვართან ახლოს მდებარე ხაზის გასწვრივ? ჭრის დასაწყისამდე მისასვლელად მოგვიწევს ამ ფურცლის შუა ხაზის გაჭრაზე ორჯერ მეტი სიგრძის გავლა. თქვენ მიიღებთ ორ გადაჯაჭვულ რგოლს, ერთი დიდი და ვიწრო, ხოლო მეორე პატარა და ფართო. ყველაზე საინტერესო ის არის, რომ დიდ რგოლს ექნება ცალმხრივი ზედაპირი, პატარას კი ორმხრივი ზედაპირი.

თუ თქვენ გააკეთებთ Möbius-ის ზოლს, რომელიც ტრიალდება 3 ნახევრად ბრუნვით (540 გრადუსი) და შემდეგ გაჭრით მას შუაზე, მიიღებთ კვანძად დაგრეხილს.

საინტერესო ნივთების მიღება შეგიძლიათ, თუ ქაღალდს აკორდეონივით დაკეცავთ, შემდეგ მისგან გააკეთებთ მობიუსის ზოლს და გაჭერით შუაზე ან მესამედზე. ჩვენს თვალწინ გაჩნდება სამი გადაჯაჭვული რგოლი.

როგორც ამ ფიგურის თვისებების მკვლევარები, ჩვენ გვაინტერესებდა კითხვა: შესაძლებელია თუ არა ყოველთვის Möbius ზოლის შექმნა? აღმოჩნდა, რომ კვადრატულ ფურცელს თუ ავიღებთ და მისგან ზოლს გამოვჭრით, ჩვენთვის საინტერესო ფიგურას ვერ მივიღებთ.

შემდეგ ჩნდება ახალი კითხვა: როგორი უნდა იყოს ზოლის სიგრძისა და სიგანის თანაფარდობა, რათა ის ყოველთვის გამოვიყენოთ მობიუსის ზოლის მისაღებად? მათემატიკურად დამტკიცებულია, რომ თუ ზოლის სიგანეს ავიღებთ 1, მაშინ სიგრძე უნდა იყოს 1,73.

ტოპოლოგიის პრაქტიკული გამოყენება

როდესაც ისინი საუბრობენ ტოპოლოგიაზე, მობიუსის ზოლი არის პირველი, რაც გონზე მოდის ამ საკითხის მცოდნე ადამიანისთვის. ამრიგად, ამ მეცნიერების პრაქტიკული გამოყენების სფეროში ადამიანის საქმიანობის სხვადასხვა დარგში, ყველაზე ხშირად გვხვდება ამ კონკრეტული ფიგურის გამოყენება.

მობიუსის ზოლის საოცარი თვისებები მწერლებისა და პოეტების შთაგონების წყაროა. მაგალითად, მინდა მოგცეთ მოკლე ნაწყვეტი ნატალია ივანოვას ლექსიდან:

მოებიუსის ზოლი მათემატიკის სიმბოლოა,

რაც არის უმაღლესი სიბრძნის გვირგვინი...

ის სავსეა არაცნობიერი რომანტიკით:

მასში უსასრულობა რგოლშია დახვეული.

არის მასში სიმარტივე და მასთან ერთად სირთულე,

რაც მიუწვდომელია ბრძენთათვისაც კი:

აქ თვითმფრინავი ჩვენს თვალწინ გარდაიქმნა

ზედაპირზე და დასასრულის გარეშე.

ედვინ ებოტის Flatland და მისი გაგრძელება Spherland, დაწერილი დევიდ ბურგერის მიერ 1976 წელს, სამართლიანად განიხილება კლასიკურ წიგნად ცხოვრების შესახებ ორგანზომილებიან სივრცეში.

Flatlander ცხოვრობს ორგანზომილებიანი ზედაპირის ფორმის პლანეტაზე. თუ მისი სამყარო უსასრულო სიბრტყეა, მაშინ მას შეუძლია გაიაროს ნებისმიერი მანძილი ნებისმიერი მიმართულებით. მაგრამ თუ ზედაპირი, რომელზეც ის ცხოვრობს, სფეროს მსგავსად დახურულია, მაშინ ის შეუზღუდავი და სასრულია.

რა მიმართულებითაც არ უნდა წავიდეს ფლატლენდერი, პირდაპირ მოძრაობს და არსად არ შემობრუნდება, ის აუცილებლად დაბრუნდება იქ, სადაც დაიწყო მოგზაურობა. როდესაც ფლატლენდერი მთელს მსოფლიოში მოგზაურობს სფეროზე, თითქოს ის მოძრაობს რგოლში ჩასმული ზოლის გასწვრივ.

მაგრამ თუ ამ პლანეტის მკვიდრი მოგზაურობს მობიუსის ზოლის გასწვრივ, მაშინ საწყის წერტილში დაბრუნების შემდეგ ის იპოვის თავის გულს არა მარცხნივ, არამედ მარჯვნივ! მსგავსი ვითარება აღწერილია ჰ.გ უელსის ფანტასტიკურ მოთხრობაში, „პლატნერის ამბავი“. ადამიანი, რომელიც მეოთხე განზომილებაში იყო, დაბრუნდა დედამიწაზე, როგორც მისი სარკე ორმაგი - გულით, რომელიც მდებარეობს მარჯვნივ.

წარმოებაში, კონვეიერის ქამარი მზადდება Möbius ზოლის სახით. დიზაინის ეს ფუნქცია საშუალებას გაძლევთ გაზარდოთ ქამრის მომსახურების ვადა, რადგან მისი ზედაპირი თანაბრად იცვამს.

ნახატი 14ქამარი კონვეიერი

შედარებით ცოტა ხნის წინ, ძირითადი მოწყობილობა კომპიუტერიდან ბეჭდვამდე ინფორმაციის გამოსატანად იყო წერტილოვანი მატრიცის პრინტერი. მის საბეჭდ თავში მელნის ლენტი ასევე მობიუსის ზოლის სახით იყო მოწყობილი.

ნახატი 15მატრიქსის პრინტერი

ვინაიდან ჩვენ ვსაუბრობთ კომპიუტერებზე, კომპიუტერული ქსელი გამოიყენება რამდენიმე მანქანის ერთ მთლიანობაში დასაკავშირებლად. ქსელური ტექნოლოგიის ერთ-ერთი ძირითადი ტერმინია ქსელის ტოპოლოგიის კონცეფცია.ტოპოლოგია – კომპიუტერული ქსელის ზოგადი დიაგრამა, რომელიც აჩვენებს კომპიუტერების ფიზიკურ მდებარეობას და მათ შორის კავშირებს.

ნახატი 16კომპიუტერული ქსელის ტოპოლოგიის მაგალითები

Möbius ზოლის ფორმა საკმაოდ წარმატებით გამოიყენება არქიტექტურაში. მოვიყვანოთ რამდენიმე მსგავსი მაგალითი.

ნახატი 18ლოგოები მობიუსის ზოლზე დაფუძნებული

არსებობს ჰიპოთეზა, რომ თავად დნმ-ის სპირალი არის მობიუსის ზოლის ფრაგმენტი და სწორედ ამიტომ არის გენეტიკური კოდის გაშიფვრა და აღქმა ასე რთული. გარდა ამისა, ასეთი სტრუქტურა საკმაოდ ლოგიკურად ხსნის ბიოლოგიური სიკვდილის დაწყების მიზეზს - სპირალი იხურება საკუთარ თავზე და ხდება თვითგანადგურება.

ნახატი 19დნმ სპირალი

მხატვრებმა და გრაფიკოსებმა ასევე არ დატოვეს უყურადღებოდ ის თემა, რომელიც ჩვენ გვაინტერესებს. ამ მხრივ საჩვენებელია ჰოლანდიელი გრაფიკოსის შემოქმედებაXXსაუკუნეში მორის ეშერის მიერ. ის ცნობილია თავისი ლითოგრაფიებით, რომლებშიც ოსტატურად გამოიკვლია უსასრულობისა და სიმეტრიის პლასტიკური ასპექტები.

მან თავისი ნამუშევრების შესახებ თქვა: ”მიუხედავად იმისა, რომ მე აბსოლუტურად არ ვიცი ზუსტი მეცნიერებები, ზოგჯერ მეჩვენება, რომ მათემატიკოსებთან უფრო ახლოს ვარ, ვიდრე ჩემს კოლეგა მხატვრებთან”.

ნახატი 20მორის ეშერის ლითოგრაფიები

დასკვნა

ტოპოლოგია არის ყველაზე ახალგაზრდა და ყველაზე

აშკარად გეომეტრიის ძლიერი ფილიალი

აჩვენებს ნაყოფიერ გავლენას

წინააღმდეგობები ინტუიციასა და ლოგიკას შორის.

რიჩარდ კურანტი

ამერიკელი მათემატიკოსი

რუსული ხალხური ანდაზა ამბობს: "დასასრული არის საქმის გვირგვინი". ასე რომ, ჩემი პატარა მოგზაურობა ტოპოლოგიის მომხიბლავ და უჩვეულო სამყაროში დასრულდა. დროა გავითვალისწინოთ.

ჩემი მუშაობის დროს გავეცანი ჩემთვის მათემატიკის ახალ სფეროს - ტოპოლოგიას. მე გამოვიკვლიე რამდენიმე უმარტივესი კონცეფცია, რომელსაც იყენებს ეს მეცნიერება და გასაგები მათემატიკური მომზადების გარეშე.

პრაქტიკაში მან ხელახლა შექმნა ყველაზე ცნობილი ტოპოლოგიური ზედაპირი - მობიუსის ზოლი და შეისწავლა მისი ზოგადი თვისებები. ასევე გავეცანი ტოპოლოგიური ზედაპირების პრაქტიკულ გამოყენებას ადამიანის საქმიანობის სხვადასხვა სფეროში.

ამრიგად, ყველა ის ამოცანა, რომელიც ამ სამუშაოს დასაწყისში დავსახე, წარმატებით მოგვარდა. იმედი მაქვს, რომ მომავალში ჩემი მათემატიკის ამ სფეროს გაცნობა არც ისე ზედაპირული იქნება, რაც საფუძველს იძლევა არჩეულ თემაზე მუშაობა გავაგრძელო, რადგან ჩემი მათემატიკური ცოდნა გროვდება.

ბიბლიოგრაფია

მათემატიკური ენციკლოპედიური ლექსიკონი / Yu.V. პროხოროვი [და სხვები]. – მ.: გამომცემლობა „საბჭოთა ენციკლოპედია“, 1988. – 340გვ.

ბოლტიანსკი, ვ.გ. ვიზუალური ტოპოლოგია / ვ.გ. ბოლტიანსკი, ვ.ა. ეფრემოვიჩი – მ.: ნაუკა, 1975. – 160გვ.

სტაროვა, ო.ა. ტოპოლოგია / O.A. სტაროვა // მათემატიკა. ყველაფერი მასწავლებლისთვის. – 2013. – No 9. – გვ.28-34.

სტიუარტი, ჯ. ტოპოლოგია / ჯ. სტიუარტი // კვანტური. – 1992. – No 7. – გვ. 28-30.

პროექტი ნიჭიერი ბავშვებისთვის: Scarlet Sails [ელექტრონული რესურსი] – წვდომის რეჟიმი:http:// პორტალი. ru/ აპ/ ბლოგი/ მეცნიერულად- ტექნიკური- tvorchestvo/ სია- მიობიუსა– დაშვების თარიღი: 01/18/2017

პრასოლოვი, ვ.ვ. ვიზუალური ტოპოლოგია / V.V. პრასოლოვი. – M.: MTsNMO, 1995. – 110გვ.

Abbott, E. Flatland / E. Abbott. – მ.: მირი, 1976. – 130გვ.

ტოპოლოგია- საკმაოდ ლამაზი, ხმოვანი სიტყვა, ძალიან პოპულარული ზოგიერთ არამათემატიკურ წრეში, დამაინტერესა ჯერ კიდევ მე-9 კლასში. რა თქმა უნდა, ზუსტი წარმოდგენა არ მქონდა, თუმცა ვეჭვობდი, რომ ყველაფერი გეომეტრიასთან იყო მიბმული.

სიტყვები და ტექსტი ისე იყო შერჩეული, რომ ყველაფერი „ინტუიტიურად ნათელი“ ყოფილიყო. შედეგი არის მათემატიკური წიგნიერების სრული ნაკლებობა.

რა არის ტოპოლოგია ? დაუყოვნებლივ ვიტყვი, რომ არსებობს მინიმუმ ორი ტერმინი "ტოპოლოგია" - ერთი მათგანი უბრალოდ აღნიშნავს გარკვეულ მათემატიკურ სტრუქტურას, მეორე კი ატარებს მთელ მეცნიერებას. ეს მეცნიერება შედგება საგნის თვისებების შესწავლისგან, რომელიც არ შეიცვლება დეფორმაციისას.

საილუსტრაციო მაგალითი 1. ბაგელის ჭიქა.

ჩვენ ვხედავთ, რომ კათხა, უწყვეტი დეფორმაციების შედეგად, იქცევა დონატად (საერთო ენით, „ორგანზომილებიანი ტორუსი“). აღინიშნა, რომ ტოპოლოგია სწავლობს იმას, რაც უცვლელი რჩება ასეთი დეფორმაციების დროს. ამ შემთხვევაში, ობიექტში "ხვრელების" რაოდენობა უცვლელი რჩება - მხოლოდ ერთია. ჯერ-ჯერობით დავტოვებთ როგორც არის, ცოტა მოგვიანებით გავარკვევთ)

საილუსტრაციო მაგალითი 2. ტოპოლოგიური ადამიანი.

მოდით ვიყოთ ნათელი

ძალიან სასარგებლო საქმეა სფერო სახელურებით. სფეროს შეიძლება ჰქონდეს 0 სახელური - მაშინ ის მხოლოდ სფეროა, შესაძლოა ერთი - შემდეგ ეს არის დონატი (საერთო ენით, "ორგანზომილებიანი ტორსი") და ა.შ.
მაშ, რატომ გამოირჩევა სფერო სახელურებით სხვა ფიგურებს შორის? ყველაფერი ძალიან მარტივია - ნებისმიერი ფიგურა ჰომეომორფულია სფეროს მიმართ გარკვეული რაოდენობის სახელურებით. ანუ, არსებითად, სხვა არაფერი გვაქვს O_o ნებისმიერი სამგანზომილებიანი ობიექტი აგებულია სფეროს მსგავსად, სახელურების გარკვეული რაოდენობის მქონე. იქნება ეს ჭიქა, კოვზი, ჩანგალი (კოვზი=ჩანგალი!), კომპიუტერის მაუსი, ადამიანი.

ეს არის საკმაოდ მნიშვნელოვანი თეორემა, რომელიც დადასტურებულია. არც ჩვენთან და არც ახლა. უფრო ზუსტად, ეს დადასტურებულია ბევრად უფრო ზოგადი სიტუაციისთვის. ნება მომეცით აგიხსნათ: ჩვენ შემოვიფარგლებით პლასტილინისგან ჩამოსხმული და ღრუს გარეშე ფიგურების განხილვით. ეს იწვევს შემდეგ პრობლემებს:
1) ჩვენ ვერ მივიღებთ არაორიენტირებად ზედაპირს (კლაინის ბოთლი, მობიუსის ზოლები, საპროექტო სიბრტყე),
2) შემოვიფარგლებით ორგანზომილებიანი ზედაპირებით (n/a: სფერო - ორგანზომილებიანი ზედაპირი),
3) ჩვენ ვერ მივიღებთ ზედაპირებს, ფიგურებს, რომლებიც ვრცელდება უსასრულობამდე (რა თქმა უნდა, შეგვიძლია ამის წარმოდგენა, მაგრამ პლასტილინის არცერთი რაოდენობა არ იქნება საკმარისი).

მობიუსის ზოლი

კლეინის ბოთლი

საუბრის თემა: ტოპოლოგია.

ტოპოლოგია (ძველი ბერძნულიდან τόπος - ადგილიდან და λόγος - სიტყვა, მოძღვრება) არის მათემატიკის ფილიალი, რომელიც შეისწავლის უწყვეტობის ფენომენს, კერძოდ, სივრცის თვისებებს, რომლებიც უცვლელი რჩება უწყვეტი დეფორმაციების დროს, მაგალითად, კავშირი. ორიენტაცია. გეომეტრიისგან განსხვავებით, ტოპოლოგია არ ითვალისწინებს ობიექტების მეტრულ თვისებებს (მაგალითად, წყვილ წერტილს შორის მანძილს). მაგალითად, ტოპოლოგიური თვალსაზრისით, წრე და დონატი (მყარი ტორუსი) არ განსხვავდება.

მაგრამ ეს მათემატიკაშია. როგორ მიდის საქმე გმირებთან? ნება მომეცით ჩემი სიტყვებით გადმოვცე.
ტოპოლოგია არის ბადის უნარი, სწორად რეაგირებდეს დეფორმაციებზე. იქნება ეს ანიმაცია, შეკუმშვა, გაჭიმვა თუ სხვა სახის დეფორმაცია. ეს მიიღწევა პერსონაჟის პოლიგონური ბადის კომპეტენტური აგებით. ამისათვის არსებობს გარკვეული წესები. შეგიძლიათ გაეცნოთ ზოგიერთ მათგანს.

ასევე არსებობს კონცეფცია ხელახალი ტოპოლოგია. ტოპოლოგიური ბადის შეცვლა ობიექტის ფორმის მაქსიმალურად შენარჩუნებით. რეტოპოლოგიის მიზანია წინა (არასწორი) ტოპოლოგიის გამოსწორება ან/და მრავალკუთხედების რაოდენობის შემცირება.

თითქმის ყველა თანამედროვე 3D გრაფიკის პაკეტს აქვს რეტოპოლოგიის ინსტრუმენტები. მე პირადად ვცადე:
1. მაია - როგორც სტანდარტული ხელსაწყოები, ასევე დანამატები.
2. მაქს - სტანდარტული ინსტრუმენტები (საშინელებათა), დანამატები და სკრიპტები (მომეწონა wrapit, მაგრამ ისევ ისე არა)
3. Zbrush - მჭიდრო და არასასიამოვნო..
4. ტოპოგუნი - საბოლოოდ ვიპოვე ის, რაც მომეწონა... რომ არ შემხვედროდა
5. 3DCoat.... აქ მივხვდი, რომ აქამდე ყველაზე მოსახერხებელია რეტოპოლოგიისა და ულტრაიისფერი სხივების გასახსნელად... თუმცა თავიდან ძნელი იყო ამის გარკვევა... მაგრამ როცა გავიგე პროგრამის პრინციპი - აი. ეს... ახლა რეტოპოლოგია არის ყველაფერი. (ნუ მიიღებთ ამას რეკლამად.)

კარგი, რადგან ეს სასმელი დაიწყო, მე დავდებ ჩემს რამდენიმე სურათს ტოპოლოგიის თემაზე.
თავი და სახე

ვიპოვე ამ თავის ძველი რენდერი.

მაჯა.

ტოპოლოგია- საკმაოდ ლამაზი, ხმოვანი სიტყვა, ძალიან პოპულარული ზოგიერთ არამათემატიკურ წრეში, დამაინტერესა ჯერ კიდევ მე-9 კლასში. რა თქმა უნდა, ზუსტი წარმოდგენა არ მქონდა, თუმცა ვეჭვობდი, რომ ყველაფერი გეომეტრიასთან იყო მიბმული.

სიტყვები და ტექსტი ისე იყო შერჩეული, რომ ყველაფერი „ინტუიტიურად ნათელი“ ყოფილიყო. შედეგი არის მათემატიკური წიგნიერების სრული ნაკლებობა.

რა არის ტოპოლოგია ? დაუყოვნებლივ ვიტყვი, რომ არსებობს მინიმუმ ორი ტერმინი "ტოპოლოგია" - ერთი მათგანი უბრალოდ აღნიშნავს გარკვეულ მათემატიკურ სტრუქტურას, მეორე კი ატარებს მთელ მეცნიერებას. ეს მეცნიერება შედგება საგნის თვისებების შესწავლისგან, რომელიც არ შეიცვლება დეფორმაციისას.

საილუსტრაციო მაგალითი 1. ბაგელის ჭიქა.

ჩვენ ვხედავთ, რომ კათხა, უწყვეტი დეფორმაციების შედეგად, იქცევა დონატად (საერთო ენით, „ორგანზომილებიანი ტორუსი“). აღინიშნა, რომ ტოპოლოგია სწავლობს იმას, რაც უცვლელი რჩება ასეთი დეფორმაციების დროს. ამ შემთხვევაში, ობიექტში "ხვრელების" რაოდენობა უცვლელი რჩება - მხოლოდ ერთია. ჯერ-ჯერობით დავტოვებთ როგორც არის, ცოტა მოგვიანებით გავარკვევთ)

საილუსტრაციო მაგალითი 2. ტოპოლოგიური ადამიანი.

მოდით ვიყოთ ნათელი

ძალიან სასარგებლო საქმეა სფერო სახელურებით. სფეროს შეიძლება ჰქონდეს 0 სახელური - მაშინ ის მხოლოდ სფეროა, შესაძლოა ერთი - შემდეგ ეს არის დონატი (საერთო ენით, "ორგანზომილებიანი ტორსი") და ა.შ.
მაშ, რატომ გამოირჩევა სფერო სახელურებით სხვა ფიგურებს შორის? ყველაფერი ძალიან მარტივია - ნებისმიერი ფიგურა ჰომეომორფულია სფეროს მიმართ გარკვეული რაოდენობის სახელურებით. ანუ, არსებითად, სხვა არაფერი გვაქვს O_o ნებისმიერი სამგანზომილებიანი ობიექტი აგებულია სფეროს მსგავსად, სახელურების გარკვეული რაოდენობის მქონე. იქნება ეს ჭიქა, კოვზი, ჩანგალი (კოვზი=ჩანგალი!), კომპიუტერის მაუსი, ადამიანი.

ეს არის საკმაოდ მნიშვნელოვანი თეორემა, რომელიც დადასტურებულია. არც ჩვენთან და არც ახლა. უფრო ზუსტად, ეს დადასტურებულია ბევრად უფრო ზოგადი სიტუაციისთვის. ნება მომეცით აგიხსნათ: ჩვენ შემოვიფარგლებით პლასტილინისგან ჩამოსხმული და ღრუს გარეშე ფიგურების განხილვით. ეს იწვევს შემდეგ პრობლემებს:
1) ჩვენ ვერ მივიღებთ არაორიენტირებად ზედაპირს (კლაინის ბოთლი, მობიუსის ზოლები, საპროექტო სიბრტყე),
2) შემოვიფარგლებით ორგანზომილებიანი ზედაპირებით (n/a: სფერო - ორგანზომილებიანი ზედაპირი),
3) ჩვენ ვერ მივიღებთ ზედაპირებს, ფიგურებს, რომლებიც ვრცელდება უსასრულობამდე (რა თქმა უნდა, შეგვიძლია ამის წარმოდგენა, მაგრამ პლასტილინის არცერთი რაოდენობა არ იქნება საკმარისი).

მობიუსის ზოლი

კლეინის ბოთლი

ამ სტატიით ვიწყებ გაკვეთილების სერიას ორგანული 3D მოდელირების შესახებ. ეს სტატია კონკრეტულად მოდელირების პრინციპებს ეხება, ე.ი. აბსოლუტურად არ არის დამოკიდებული თქვენი (ნებისმიერი) 3D პაკეტის მახასიათებლებზე. სტატიების სერია მოიცავს შემდეგ თემებს:

• ფორმა,
• პროპორციები,
• ბოძები,
• ტოპოლოგია
• და უფრო მეტი.

მოდელირების უამრავი მეთოდი არსებობს და ყველა მათგანს აქვს თავისი დადებითი და უარყოფითი მხარეები, ასე რომ არ არსებობს "საუკეთესო მოდელირების მეთოდი".

მიზეზი იმისა, თუ რატომ ავიღე ეს გზა ფორმები- იგი მუშაობს. ასევე ყოველთვის მინდოდა მოქანდაკე გავმხდარიყავი. სანამ დეტალებზე გადავიდოდე, მომწონს უხეში ფორმის დახატვა. სწორედ ამის გამო მივაღწიე ბევრს და სწორედ ამიტომ გადავწყვიტე დამეწერა ეს სტატია, რათა დამწყებთათვის დავეხმარო ორგანულ 3D მოდელირებაში და ვაჩვენო ფორმა, სანამ რაიმეს დაიწყებენ.

პირველი, რითაც დავიწყე, იყო თავის ფორმა და იმედგაცრუებული ვიყავი, რადგან ვცდილობდი მისი გაკეთება ყოველგვარი საცნობარო ინფორმაციის გარეშე (არა ცნობები- ინგლისური მითითებიდან), მხოლოდ თქვენი ფანტაზიის გამოყენებით. უხეში ფორმის დახატვის ნაცვლად, ჩემი გონება იყო დაკავებული კითხვებით, როგორიცაა: "რამდენი ჭრაა საჭირო? რატომ? სად და როდის?"

ვღელავდი არა მარტო ჩემს თავზე, არამედ ჩემს თვალებზე, ცხვირზე და პირზე (და ჯერ არც კი მივსულვარ). ჩემი ტვინი დაბნეული იყო და სრულიად მაწუხებდა როგორ შემექმნა ეს თავი... სანამ ერთ დღეს მოვახერხე კრივის ძირითადი თავის დახატვა და აჰა... ნახეთ სიმართლის მომენტი! იმდენად აღფრთოვანებული ვიყავი, რომ გადავწყვიტე ისევ გამეკეთებინა! და მერე ისევ და ისევ, სანამ არ დავიღალე და არ დავიღალე.

უკან რომ ვიხედები, ეს ძალიან მარტივი და მარტივი მეჩვენება. ყველაფერი რაც სჭირდებოდა იყო ყუთის შექმნა და რამდენიმე ჭრა და რედაქტირება!

თუმცა, თუ ეს ასე მარტივია, მაშინ რატომ ვიბრძოდი ამდენი ხნის განმავლობაში? შეგვიძლია თუ არა ყველას ამის გაკეთება იმ პრობლემების გარეშე, რაც მე განვიცდი? კარგი, ჩემი პასუხია დიახ! მაგრამ მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ ამას გულისხმობ სწორი აზროვნება. მაგალითად, მე არ მქონია, როცა პირველად დავიწყე.

რასაც ახლა მივხვდი არის ის როდესაც ვსწავლობთ 3D მოდელირებას, მაშინ ჩვენ უბრალოდ ვართ ჩვენ საერთოდ არ ვასწავლით 3D-ს! რასაც ჩვენ რეალურად ვაკეთებთ არის სწორი „აზროვნების“ ძიება. ასე რომ, როცა რაიმეში გიჭირს, ეს არ ნიშნავს, რომ უნარ-ჩვევები ან ცოდნა აკლია. ეს ყველაფერი იმიტომ ხდება, რომ თქვენ არ გაქვთ სწორი აზროვნება, რომ გააკეთოთ ის, რის გაკეთებასაც ცდილობთ.

როგორც კი გონებას გადაამუშავებთ, თქვენი რაციონალური გონება აიღებს ძალას და დაიწყებთ საქმეების ბუნებრივად კეთებას. ასე რომ, ეს არის პირველი, რისი აღდგენაც უნდა შევეცადოთ - აზროვნება.

მენტალიტეტი

პროფილის (კონტურის) დახატვა: წერტილების შეერთება

ეს პატარა მაგალითი დაგეხმარებათ შეცვალოთ თქვენი აზროვნება.

პირველ რიგში, უბრალოდ შეხედეთ ამ სურათს. ახლა ჩვენ დავხატავთ პროფილს წერტილების გამოყენებით და დავაკავშირებთ მათ. თუ მხოლოდ ორი წერტილი გქონდა (შუბლზე და ნიკაპზე) მათ დასაკავშირებლად. როგორ გააკეთებდი ამას? პასუხი: შუბლიდან ნიკაპამდე, რადგან სხვა გზა უბრალოდ არ არის.

თუმცა, თუ ქულების რაოდენობას გაზრდით, ისინი არამარტო მოგცემენ საშუალებას მეტი ფორმის პროფილი ზუსტად, მაგრამ ამის ნებასაც მისცემენ მრავალი თვალსაზრისითდა ეს უკვე იწვევს სტილის ფორმირება(მხატვრული).

ეს ძალიან მნიშვნელოვანია, რომ გახსოვდეთ, როდესაც გჭირდებათ ჭრილობების გაკეთება ან იცოდეთ სად დაასრულოთ ისინი.

Key Cut (KR) და Fill Cut (FC).

თავიდან ძალიან გამიჭირდა იმის გაგება, სად და რამდენი ჭრა უნდა გამეკეთებინა კონკრეტული ფორმის შექმნისას. ამიტომ ვეძებდი ამ პროცესის ანალოგიას. ეს ანალოგია აღმოჩნდა ანიმაცია.

ანიმაციას აქვს კონცეფცია Ძირითადი პერსონალი(KK). მოკლედ, ეს არის დამახასიათებელი პოზებიხასიათი გარკვეულში დროის მომენტი. ეს კონცეფცია ასევე მოიცავს შუალედური ჩარჩოები(PrK), რომელიც ავსებს დროის ინტერვალებს შორისᲫირითადი პერსონალი.

ეს არა მხოლოდ აჩქარებს პროცესს, არამედ ამარტივებს. რაც უფრო მეტი შუალედური ჩარჩოები (შევსების ჭრილები) გაქვთ, მით უფრო გლუვი და ზუსტი იქნება მოძრაობა.

თუ თქვენ ხართ ანიმატორი, მაშინ თქვენ გაქვთ უფლება გააკონტროლოთ PRK-ების რაოდენობა. ეს ძალიან ჰგავს პოლიგონების 3D ჭრის.

PK-ების დიდი რაოდენობის დახატვა და ყველა მათგანის მართვა ძალიან დამღლელი სამუშაოა. იგივე ეხება დიდი რაოდენობით წვეროების გადაადგილებას 3D-ში - ეს ძალიან შრომატევადია.

CD-ის იდეა არის სახსრები. როდესაც მოდელიერი ხაზს უსვამს უხეშ ფორმას, ის ყოველთვის იწყებს KR-ით, რომელიც ყოველთვის უხეშად გამოიყურება. თუ რედაქტორი, რომელსაც თქვენ იყენებთ, მხარს უჭერს კამათელს, გამოიყენეთ იგი მის გასარკვევად. მოხარეთ/მოაბრუნეთ ძვლები სახსრებში, რათა ნახოთ თქვენი უხეში ფორმა პოზებში.

მას შემდეგ რაც ყველა დისკი მზად იქნება, თქვენ გაქვთ ორი ვარიანტი:

1. გაასწორეთ მოდელი.
   ზოგჯერ მე ვქმნი CR-ს და შემდეგ უბრალოდ ვუშვებ კოდს, რომელიც პასუხისმგებელია მოდელის უფრო მეტ მრავალკუთხედებად (ქვეგანყოფილებად) დაყოფაზე, შეავსოს ჩემთვის ყველა CR. მინუსი ის არის, რომ ის არ გამოიყურება რეალისტურად. ასე რომ, შემდეგი ნაბიჯი არის რბილი ხაზგასმის გამოყენება ფორმის გამოსასწორებლად. ზოგჯერ ამან შეიძლება დაზოგოს ბევრი დრო (მაგრამ ეს დამოკიდებულია იმაზე, თუ რას აკეთებთ მოდელირებაზე).
2. დაამატეთ ZR ხელით.
   უმეტეს შემთხვევაში, მე მირჩევნია ხელით მუშაობა, რადგან ამ გზით შემიძლია გავაკონტროლო ქულების რაოდენობა და მათი მდებარეობა.

გთხოვთ გაითვალისწინოთ, რომ Key and Fill cuts-ის კონცეფცია არა მხოლოდ გამოსადეგია ფორმების შესაქმნელად, არამედ თქვენი ბადის დეტალებისთვის. დანაყოფის გამოყენებით შექმნილი KR და ZR არის ბადის ოპტიმიზაციის ერთ-ერთი გზა (დუნდულები, ბარძაყები და ა.შ.). ასევე, ზოგჯერ Fill Cut შეიძლება გახდეს Key Cut იმისდა მიხედვით, თუ როგორ უყურებთ მას. შენ ხარ შემოქმედი, ამიტომ ყველაფერი შენს ძალაშია.

ასევე მნიშვნელოვანია ის, რომ ეს კონცეფცია ასევე მშვენივრად მუშაობს ტოპოლოგიისთვის/მარყუჟებისთვის (Key and Fill Loops).

Main and Fill ძალიან საინტერესო კონცეფციაა, რადგან ის შეიძლება გამოყენებულ იქნას თითქმის ყველაფერზე! შემდეგ ჯერზე, როცა შეხედავთ ტოპოლოგიის ქსელს, შეეცადეთ იპოვოთ საკვანძო მარყუჟი, რადგან თითოეულ თავს აქვს მინიმუმ ერთი მათგანი.

იმის მიხედვით, რაც მე ვნახე, არსებობს თავთავის ასეთი ტოპოლოგიები:

• C-მარყუჟი
• X-მარყუჟი
• ელექტრონული მარყუჟი
• და სხვათა თაიგული

ამ ყველაფერზე მოგვიანებით ვისაუბრებ, მაგრამ ჯერჯერობით ფორმაზე გავამახვილოთ ყურადღება.

დამრგვალება

ეს არის ყველა დამწყებთათვის ყველაზე გავრცელებული შეცდომა. ისინი ქმნიან Key Cuts-ს, შემდეგ კი შემავსებელს მათ შორის და ტოვებენ ყველაფერს ოდნავი ცვლილების გარეშე. თუ არ დაამრგვალებთ თქვენს GR-ს, შედეგი იქნება კვადრატული (არაბუნებრივი, არაორგანული) და მოგიწევთ დიდი შრომა მის გამოსასწორებლად მოგვიანებით. თუ ყოველ ჯერზე, როდესაც შექმნით მომდევნო Filling Cut-ს, სწორად აწყობთ მას ფორმასთან, მაშინ თავს დაიცავთ ბადის მუდმივი გადამუშავებისგან.

ფორმის ხაზების მიყოლა (სხეულის ხაზები, ხაზების სიგლუვე).

კიდევ ერთი გავრცელებული შეცდომა არის საგნის გლუვი ხაზების შეუსრულებლობა. გახსოვდეთ, ეს ორგანული სიმულაციაა, ამიტომ ეცადეთ ორგანულად იფიქროთ. სხეულის ნაწილების დახაზვისას, როგორიცაა კუდი ან მრუდი სხეული, შეეცადეთ წარმოიდგინოთ მრუდი ცილინდრი. და შესაბამისად შექმენით ბლოკები.

შიში, აჩქარება და ეჭვი

ეს არის გამოწვევის გონებრივი დონე, როდესაც თქვენ ახლახან იწყებთ 3D მოდელირებას.

ყოველ ჯერზე, როცა რამეს პირველად აკეთებ, დიდ სირთულეს განიცდი. საქმე იმაშია, რომ არ დანებდე! ყველა გადის ამას. იშვიათად შეხვდები ადამიანს, რომელმაც ეს საწყისი ეტაპი გაიარა და არ ისაუბროს იმაზე, თუ როგორ განიცადა.

ასე რომ, აქ არის ჩემი რჩევა: დამშვიდდით, შეანელეთ, აქ არ იჩქაროთ. სცადეთ დახარჯოთ ერთი ან ორი თვე თქვენი ფორმის თამაშით. დაიწყეთ ისეთი ობიექტებით, რომლებიც საშუალებას გაძლევთ დაუშვათ ბევრი შეცდომა, როგორიცაა არსებები. და უბრალოდ ივარჯიშე. თუ სისულელეა, წაშალე და დაიწყე თავიდან.

თავიდან ყველაფერი ნელ-ნელა გამოგივა, მაგრამ მსგავსი დავალებების შესრულებისას თქვენი სიჩქარე მუდმივად გაიზრდება. სწორედ ამიტომ გვჭირდება პრაქტიკა, რომ ყველაფერი უკეთ და სწრაფად გავაკეთოთ.

როდესაც პირველად შექმნით მოდელს, ეს შეიძლება იყოს ძალიან სახალისო პროცესი. ყოველივე იმის გამო, რომ "შეხედე მთლიანს".

ავიღოთ, მაგალითად, ადამიანის ფიგურა. ვთქვათ, თქვენ იწყებთ ტორსით და გამოიყენეთ ექსტრუდი მის გასაჭიმად. თუ ჯერ არ გაქვთ ფეხები და ხელები/თავი, მაშინ ეს ყველაფერი ძალიან კომიკურად გამოიყურება. იმისათვის, რომ "ის" ადამიანურად გამოიყურებოდეს, თქვენ უნდა შეავსოთ სხეულის ყველა დარჩენილი ნაწილი.

ასე რომ, არ არის საჭირო ინტერესის დაკარგვა საშინელი შედეგის გამო, რომ ყველა ნაწილი ადგილზე არ არის. თქვენ უბრალოდ უნდა ამოიწუროთ სხეულის ყველა ნაწილი და მოათავსოთ ისინი სწორ ადგილებში, მხოლოდ ამის შემდეგ "ის" დაიწყებს ადამიანის ფიგურას.

ივარჯიშე

სიმულაციური საგანი

ჯერ მოდით ვისაუბროთ მოდელირების თემაზე.

თუ აკეთებთ პერსონაჟების მოდელირება, მაშინ აშკარად დაიწყებთ სათავეში და დაიძვრებით ქვემოთ. გამარტივებული თავი, ტანი და შემდეგ ხელები და ფეხები. რამდენიმე კვირის შემდეგ მიხვდებით, რომ თავი სხეულის უმარტივესი ნაწილია, რადგან ის მხოლოდ ერთი ბლოკია, მთლიანად ჩანს ერთი წერტილიდან. და ყველაფერი რაც თქვენ გჭირდებათ მოდელისთვის არის მისი (თავი) მასშტაბირება და შემცირება.

სხეულის სხვა ნაწილები (მკლავები, ფეხები) უფრო რთული იქნება, რადგან ისინი მოგთხოვენ მოდელის როტაციას და მასშტაბირებას ხედის პორტში. და რადგან თქვენ ახალი ხართ 3D-ში, დიდია შანსი, რომ არ ხართ მიჩვეული როტაციის, დატრიალების, პანელის და მასშტაბირების სრულად გამოყენებას ხედის პორტებში.

თავიდან, ზედმეტი სირთულეების თავიდან ასაცილებლად, გამოიყენეთ ცნობები. და მას შემდეგ რაც გათიშეთ, სცადეთ მოდელირება მეხსიერებიდან.

მეხსიერებიდან ხელის შექმნა პირველად რთულია. ამიტომ ეცადეთ, ჯერ გამოიყენოთ საცნობარო სურათები/ფოტოები, შემდეგ კი მეხსიერება.

რატომ აკეთებ ამას საერთოდ მეხსიერებიდან? მხოლოდ იმის დასანახად, გაუმჯობესდა თუ არა თქვენი ხელის ფორმის გაგება (ან ნებისმიერი ობიექტი, რომელსაც თქვენ ქმნით).

Თუ შენ სხვადასხვა არსებების მოდელირება, მაშინ აქაც იგივე სიტუაციაა. დაიწყეთ თავით, შემდეგ სხეულით და შემდეგ ყველაფერი ქვემოთ. ნუ შემოიფარგლებით მხოლოდ ერთი ნაწილის მოდელირებით. გადადით ერთი ნაწილიდან მეორეზე (მაგალითად, მე ამას ვაკეთებ), ასე რომ თქვენ (აქტივობის ტიპის შეცვლის წყალობით) მუდმივად შეინარჩუნებთ ინტერესს ამ პროცესის მიმართ.

ექსტრუზია.

სანამ დაიწყებთ ნაწილების გაწურვას, როგორიცაა ხელები და ფეხები, უნდა იცოდეთ, რომ ამის გაკეთება მხოლოდ ორი გზაა. ეს დაკავშირებულია კუთხის მოდელირებასთან.

მეთოდი A, რა თქმა უნდა, უფრო სწრაფია, მაგრამ თქვენ მაინც, ადრე თუ გვიან, მიხვალთ B მეთოდზე. ასევე შეგიძლიათ A-ზე B-ზე გადაყვანა პოლარიზაციის მეთოდის გამოყენებით (ამაზე მოგვიანებით). ასევე გაითვალისწინეთ ხაზის ფორმა (წითელი).

მე მინახავს A მეთოდის მრავალი ვარიაცია შექმნისთვის რეალისტური ადამიანის ხელი. მიუხედავად იმისა, რომ B მეთოდი შესაფერისია არარეალური პერსონაჟებიმაგალითად, მულტფილმები და მსგავსი.

თუ თქვენ გიჭირთ როტაცია ყოველ ჯერზე, როდესაც ექსტრუდს აკეთებთ, გამოიყენეთ მეთოდი A. მაგრამ არ აქვს მნიშვნელობა, რომელ მეთოდს აირჩევთ, რადგან თქვენ შეგიძლიათ გადაიყვანოთ ერთი ტოპოლოგია მეორეზე, როგორც მიდიხართ.

ამით მთავრდება სტატიის პირველი ნაწილი. თქვენ შეგიძლიათ დასვათ კითხვები, თუ რამე გაურკვეველია.

ნება მომეცით დავასრულო რამდენიმე საუკეთესო.

ეს არის ჩემი თარგმანი SomeArtist-ის პოსტების შესანიშნავი სერიის შესახებ subdivisionmodeling.com-ზე (რომლებიც წაიშალა, რადგან ფორუმმა არსებობა შეწყვიტა).

P.S.ბარბაროსული კუ სათაურ სურათზე ამერიკელმა ჯესი სანდიფერმა შექმნა. სიმულაცია განხორციელდა მთლიანად ტალახის ყუთი, შემდეგ მთელი სცენა შეიკრიბა 3ds Maxდა ვიზუალური ძალებით ვრეი. Photoshopგამოიყენება ტექსტურირებისა და შემდგომი დამუშავებისთვის. სხვა ტიპის პერსონაჟებისთვის, ასევე ნაწარმოების განხილვისთვის წაიკითხეთ